Minkowski 3-uzayda eğrilerin doğal ve eşlenik eşleri
Natural and conjugate mates of curves in minkowski 3-space
- Tez No: 1004563
- Danışmanlar: PROF. DR. AHMET YÜCESAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Diferensiyel geometri, Differential geometry
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Süleyman Demirel Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Eğrilerin diferansiyel geometrisi, hem Öklid 3-uzayında hem de Minkowski 3-uzayında en ilgi çekici araştırma alanlarından birini oluşturmaktadır. Özellikle genel helis, küresel eğriler (Minkowski 3-uzayında hiperkuadriksel eğriler olarak adlandırılır), rektifiyen eğriler ve Bertrand eğrileri gibi özel eğri sınıflarının incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Diğer taraftan, birçok matematikçi, verilen bir eğriden yola çıkarak türetilen ve orijinal eğrinin geometrik özelliklerini anlamamıza yardımcı olan çeşitli ilişkili eğriler üzerinde çalışmıştır. Bu ilişkili eğriler, orijinal eğrinin Frenet çatısı elemanları tarafından tanımlanan vektör alanlarının integral eğrileri olarak tanımlanır ve başlangıç eğrisini karakterize etmede, davranışını açıklamada kullanılabilirler. Bu motivasyonla, bu çalışmada Minkowski 3-uzayındaki bir regüler null olmayan eğrinin iki önemli ilişkili eğrisi olan doğal eş (asli doğrultu eğrisi veya asli normal vektör alanının integral eğrisi) ve eşlenik eş (binormal doğrultu eğrisi veya binormal vektör alanının integral eğrisi) incelendi. Bu inceleme, genel helis, hiperkuadriksel, rektifiyen ve Bertrand eğrileri gibi özel eğri tiplerinin bu ilişkili eğriler yardımıyla karakterizasyonunu amaçlamaktadır. Çalışmanın ilk kısmında, bir regüler null olmayan eğrinin doğal eşinin konum vektörü, orijinal eğrinin Frenet elemanları (eğrilik, burulma, teğet, normal, binormal) ve doğal eşin uzaklık fonksiyonu ile bu fonksiyonun türevini içeren bir fonksiyon kullanılarak türetildi. Elde edilen bu konum vektörü kullanılarak, bir eğrinin Bertrand eğrisi olması için gerekli ve yeterli koşullar ortaya konuldu. Bu koşullar altında, doğal eş eğrisinin aynı zamanda bir hiperkuadriksel eğri olduğu ve orijinal eğrinin rektifiyen düzleminde yer aldığı ispatlandı. Teorik sonuçların bir uygulaması olarak, farklı causal karakterlere sahip Salkowski eğrilerin doğal eşleri incelendi ve bu doğal eşlerin pseudo-küre veya pseudo-hiperbolik uzay üzerinde yer aldığı gösterildi. Ayrıca, genel helisler için doğal eşe dik sabit bir doğrultunun varlığı ¸seklinde yeni ve zarif bir karakterizasyon elde edildi. Çalışmanın ikinci ana kısmında ise, bir regüler null olmayan eğrinin eşlenik eşinin konum vektörü, orijinal eğrinin Frenet elemanları, eşlenik eşin uzaklık fonksiyonu, bu fonksiyonun birinci ve ikinci türevleri ile eğrinin burulmasını içeren bir fonksiyon yardımıyla türetildi. Eşlenik eşin geometrik doğasını anlamak amacıyla, bu eğrinin bir hiperkuadriksel eğri veya bir rektifiyen eğri olması durumları ayrıntılı olarak analiz edildi ve bu özel durumlar için gerekli koşullar belirlendi.
Özet (Çeviri)
Differential geometry of curves constitutes one of the most intriguing research domains in both Euclidean 3-space and Minkowski 3-space. The study of special curve classes, particularly general helices, spherical curves (referred to as hyperquadrical curves in Minkowski 3-space), rectifying curves, and Bertrand curves, is of significant importance. On the other hand, numerous mathematicians have worked on various associated curves derived from a given curve, which aid in characterizing the original curve and elucidating its geometric properties. These associated curves are defined as the integral curves of the vector fields generated by the elements of the Frenet frame of the original curve and can be utilized to characterize the initial curve and explain its behaviour. Motivated by this, the present study examines two important associated curves of a regular non-null curve in Minkowski 3-space: the natural mate (principal direction curve or the integral curve of the principal normal vector field) and the conjugate mate (binormal direction curve or the integral curve of the binormal vector field). This investigation aims to characterize special curve types, such as general helices, hyperquadrical curves, rectifying curves, and Bertrand curves, through the use of these associated curves. In the first part of the study, the position vector of the natural mate of a regular non-null curve is derived using the Frenet apparatus (curvature, torsion, tangent, normal, binormal) of the original curve and a function involving the distance function of the natural mate and its derivative. Utilizing the obtained position vector, the necessary and sufficient conditions for a curve to be a Bertrand curve are established. Under these conditions, it is proven that the natural mate is also a hyperquadrical curve and lies in the rectifying plane of the original curve. As an application of the theoretical results, the natural mates of Salkowski curves with different causal characteristics are investigated, and it is demonstrated that these mates lie on an unit pseudo-sphere or a pseudo-hyperbolic space. Furthermore, a novel and elegant characterization for general helices is obtained, stating the existence of a fixed direction orthogonal to its natural mate. In the second main part of the study, the position vector of the conjugate mate of a regular non-null curve is derived with the aid of the Frenet apparatus of the original curve, the distance function of the conjugate mate, its first and second derivatives, and a function incorporating the torsion of the curve. To comprehend the geometric nature of the conjugate mate, the cases where this curve is either a hyperquadrical curve or a rectifying curve are analyzed in detail, and the requisite conditions for these special instances are determined.
Benzer Tezler
- 3-boyutlu lightlike konide hiperelastik eğriler
Hyperelastic curves in 3-dimensional lightlike cone
SÜMEYRA TUĞÇE KAĞIZMAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikSüleyman Demirel ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AHMET YÜCESAN
- Yaygın yük-akım dağılımının radyasyon alanının incelenmesi
Başlık çevirisi yok
MUSTAFA TEMİZ
Doktora
Türkçe
1983
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiDOÇ. DR. İHSAN ULUER
- R13 minkowski 3- uzayında lie grup yapıları ve C-etkiler
Lie group stuructures on the R13 minkowski 3-space and C-actions
H.HÜSEYİN UĞURLU
- Konveks kümeler
Başlık çevirisi yok
YUSUF CESUR
Yüksek Lisans
Türkçe
1993
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HAMİT AVCI