Geri Dön

Üzerinde darboux eğrilerinin tschebycheff şebekesi oluşturduğu yüzeyler

Surfaces on which the darboux lines form a tschebycheff net

  1. Tez No: 68894
  2. Yazar: NOBİ ÖNDER
  3. Danışmanlar: PROF. DR. ABDÜLKADİR ÖZDEĞER
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Eğriler, Tschebycheff şebekesi, Yüzeyler, Curves, Tschebycheff net, Surfaces
  7. Yıl: 1997
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

OZET Bu çalışmada, esas itibarıyla, üç boyutlu Öklid uzayında bir S yüze yine ait Darboux eğrileri tarafından oluşturulan Tschebycheff şebekeleri incelenmiştir. Ayrıca, 5“ yüzeyine paralel bir 5”yüzeyi ile S nin inversi olan S yüzeyi göz önüne alınarak, S nin Darboux eğrilerinin S' ve S yüzeyinin Darboux eğrilerine karşı gelme koşulları elde edilmiş ve her iki halde de 5 yüzeyinin cinsi belirlenmiştir. S yüzeyi üzerinde, düzgün üç a,b,c vektör alanının integral eğrilerinin oluşturduğu üçlü eğri şebekesini A = (a,b,c) ile gösterelim. Şayet bu üçlü şebekeye ait her vektör alanı şebekenin geriye kalan vektör alan larının integral eğrileri boyunca Levi-Civita anlamında paralel kayıyorsa, A şebekesine bir Tschebycheff şebekesi denir. A nin bir A' alt şebekesine ait herhangi bir vektör alanı, diğer vektör alanının integral eğrileri boyun ca paralel kayıyorsa, A' ye bir Tschebycheff şebekesi adı verilir. 2-boyutlu (a,b) şebekesine ait vektör alanlarından biri diğer vektör alanının integ ral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa, bu şebekeye yarı - Tschebycheff şebekesi denir. S yüzeyi üzerindeki Darboux eğrilerinin teğet vektör alanları Vı,T>2, Vz olsun. Çalışmanın ikinci bölümünde, üzerinde (£>ı,X)2) şebekesinin bir Tschebycheff ve {Vı,Vs) şebekesinin de bir yarı-Tschebycheff şebeke si olduğu yegane yüzeyin bir dönel silindir veya özel olarak bir düzlemden ibaret olduğu gösterilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde, 5, S' ve S yüzeyleri ile ilgili olarak aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem. Açılabilir olmayan, küreden farklı bir yüzeyin Darboux eğrileri ile bu yüzeye paralel bir yüzeyin Darboux eğrilerinin birbirine karşı gelmesi için gerek şart, bu yüzeyin sabit ortalama eğrilikli bir yüzey olmasıdır. Herhangi bir açılabilir yüzey ile buna paralel bir yüzeyin Dar boux eğrileri birbirine karşı gelir. Teorem. Üzerinde iki Darboux eğri ailesinin bir Tschebycheff şebe kesi oluşturduğu sabit ortalama eğrilikli yüzeyler bir açılabilir yüzeyden ibarettir. Teorem. Darboux eğrileri, inversi üzerindeki Darboux eğrilerine karşı gelen, küreden farklı bir yüzey aşağıdaki yüzey sınıflarından birisine aittir: a. S yüzeyi bir Dupin siklidi olup, r - f = sbt. eğri ailesi küreseldir. b. S yüzeyi bir dönel boru yüzeyidir. Teorem. Üzerinde eğrilik çizgilerinden farklı iki Darboux eğri ailesi nin bir eğrilik çizgisi ailesi (= Darboux eğri ailesi) ile yarı Tschebycheff şebekesi oluşturduğu Mulür yüzey, bir dönel yüzey veya bir boru yüzeyinden ibarettir. iv

Özet (Çeviri)

SUMMARYIn this work, Tschebycheff nets formed by the Darboux lines on a surface 5“ in 3-dimensional Euclidean space are studied first, and then the conditions under which the Darboux lines are preserved when pass ing from S to a surface S' parallel to S are obtained. Finally, surfaces whose Darboux lines correspond to the Darboux lines on their inverses are examined. Let S be a real surface of class C4 in Euclidean 3-space with vector equation x = x(u, v) and let C be a line on S. C is said to be a Darboux line if the relation V=^+(Pn-Pn)p9=0 (1) holds all along C, where V is the Darboux's direction function and Pni Pgi Tg and s are, respectively, the normal cuvature, the geodesic curvature, the geodesic torsion and the arc-length of C, pn being the normal curvature of the orthogonal trajectories of C. Let C make the angles 7* and 7** (7* + 7** = S) with the para metric lines v = const, and u = const, respectively. With the aid of the generalised Euler, Ossian-Bonnet and Liouville formulae which are, respectively, given by pn = {r*Cos7*Sin7** + r**Sin7*Cos7** + (t* - t**)Sin7*Sin7**} /Sin 6 Tg = {fCos7*Sin7** + t**Sin7'”Cos7** + (r** - r*)Sin7*Sin7**} /Sin 5 Pg = {(9* + 7i*)Sin7** + (g** - 7Î* )Sin7*} /Sin 6 and taking into account that pn = [r*Sin7*Cos7** + r**Cos7*Sin7** - (t* - t**)Cos7*Cos7H /Sin 6, dr. 9 _ ds = [(ra)1Sin7** + (rg)2Sin7*]/Sin<5,S**.*“ -1SS8S--J ”** 'a*^al,İfa* the differential equation of the Darboux lines in any curvilinear coordi nate system is obtained from (1) V -( t\ Sin7** + tj Sin7*\ /Cos7*Sin7 Sin<5 )(! Sintf /t;* Sin7**+t;* Sin7*\ /Sin7*Cos7**\ + V Sintf J \ SinS / + (r** - r*)iSin7** + (r** - r*)2Sm7* Sin<S /Sin7*Sin7* V Sin* + -Lj (7i*Sin7** + 72*Sin7*) [(r** - r*)SinV -(**- f**)Cos7**Sin7**]+(7r*Sin7**+7**Sin7J [(r**-r*)SinV + (<*-r*)Cos7*Sİn7* + si^f*“ r**)Sin(£ - 27*) '}{ + (<*- t**)Cos(6 - V)K(g* + 7i*)Sin7** + (g”-V)Sin7*M where r*, r**; </*, g**\ £*, <** are, respectively, the normal curvatures, the geodesic curvatures and the geodesic torsions of the parametric lines and 1, 2 are the indices of invariant differentiation. Let the 3-net on S formed by the integral curves of three smooth vector fields a,b,c be denoted by A = (a,b,c). A 3-net is called a Tschebycheff net if every vector field belonging to this net is parallelly translated, in the sense of Levi-Civita, along the integral curves of the remaining vector fields. A subnet of the net A is said to be a Tschebycheff net if every vector field belonging to this net is parallelly translated along the integral curves of the other vector field. A 2-net is said to be a semi-Tschebycheff net if one of the vector fields belonging to this net is parallelly translated along the integral curves of the other vector field. In the second chapter, the two subnets (T>i, V2), (Pi, D3) of the 3-net formed by the vector fields of the Darboux lines of S are considered and it is assumed that the nets (2?lt P2), (2?i, Vz) are, respectively, a Tschebycheff and a semi-Tschebycheff net. VIIf the two families of the curves belonging to the net (2>i, V-i) are taken as the parametric lines v = const., u = const., respectively, one obtains tj + [(r* - r**) + (f - OCotg*]g' = 0 <a* + [ - (r* - r**) + (** - ***)Cotg«5]g** = 0. Using the fact that the nets (T>i, X>2), (2?i, T>z) are, respectively, Tschebycheff and semi-TschebychefF, one gets where (pg)v is the geodesic curvature of the integral curves of the vector field £>3 given by (P.)vn = W + 7i* )Sm7** + (g** - 72**)Sm7*} /Sin 6 and ds = (7l* Sin7** + 7*Sin7*)/Sin 8. These conditions lead us to the following theorem: Theorem. The only surface on which the nets (V\, D2) and (T>i, Vz) are, respectively, Tschebycheff and semi-Tschebycheff, is a cylin der of revolution. The third chapter is devoted to the study of Tschebycheff 2-nets and semi-Tschebycheff nets on parallel and inverse surfaces. In this connec tion, the following results are obtained: Theorem. Let S' be a surface parallel to 5 and suppose that S is neither a sphere nor a developable surface. If the Darboux lines of 5 and 5“' correspond to each other, then 5 is a surface of constant mean curvature. In the case S is a developable surface, the Darboux lines of 5 and S' do correspond. Theorem. A surface of constant mean curvature on which the two families of Darboux lines form a Tschebycheff 2-net is a cylinder of rev olution. If the lines of curvature of S are taken as parametric curves, then the differential equation of Darboux lines becomes -fuG2{dvf + (r”- 2rv)EG(dvfdu + (2r“ - ru)EGdv(du)2 + rvE2(duf = 0, viiwhere r and f are the principal curvatures of S. By using this equation and remembering that the lines of curvature on S and S correspond to each other, the differential equation of the Darboux lines of the inverse surface S is obtained in the form ~RuG2{dvf + (Rv - 2Rv)EG{dvfdu + (2RU- Ru)EGdv(duf + RvE2{duf =0, where R, R are the principal curvatures of S which are given by R=-ğt(rx2+2p), |x| = x and 2pu = -{x2)ur, 2pv = -{x2)vf. Here, x, C, p are, respectively, the position vector of 5*, the radius of inversion and the perpendicular distance, measured in the sense of the unit normal of S, from the centre of inversion to the tangent plane of 5* at the point considered. The Darboux lines of S and S will correspond to each other, if and only if, the conditions 2fu(a;2)”-(r“-2rt,)(x2)tt=0, ru(x2)v, = 0, fv(x2)v = 0 fu{x2)v + rv{x2)u = 0 (r”- 2r“)(a;2)tt - (z2)”(2fu - ru) = 0 2r“(x2)u + (2FU - ru)(x2)”= 0 are satisfied. JYom these relations the following results are derived. Theorem. If the Darboux lines of S (not a sphere) and those of its inverse S correspond to each other, then S belongs to one of the following two classes: 1. S is a Dupin's cyclide and the curves of the family r - f = const, are spherical curves 2. 5* is a pipe surface of revolution. viiiM Finally, Molure surfaces which include pipe surfaces as a special case and are characterised by the condition f\ = 0 are considered and the following conclusion is drawn: Theorem. If the two families of Darboux lines on a Molure sur face which are different from the lines of curvature, form two semi- Tschebycheff nets with the lines of curvature (= the third family of Dar boux lines), then such a Molure surface is either a surface of revolution or a pipe surface. IX

Benzer Tezler

  1. Tez No

    50438

    R31 minkowski 3-uzayında time like asal normalli space-like eğrilerin flenet ve darboux vektörleri

    Başlık çevirisi yok

    HÜSEYİN KOCAYİĞİT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1996

    MatematikCelal Bayar Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. H. HÜSEYİN UĞURLU

  2. Tez No

    50436

    R31 minkowski 3-uzayında space like eğrilerin frenet ve darboux vektörleri

    The frenet and darboux vectors of the space like curves at minkowzki 3-space R31

    OSMAN KILIÇ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1996

    Makine MühendisliğiCelal Bayar Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. ALİ ÇALIŞKAN

  3. Tez No

    39834

    Weyl hiperyüzeylerinde genelleştirilmiş darboux fonksiyonu

    Darboux function in a weyl hypersurface

    FÜSUN ÖZEN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1994

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    DOÇ.DR. AYNUR UYSAL

  4. Tez No

    14037

    Bir yüzey üzerinde teğetsel olmayan bir vektör alanına bağlı eşit-eşlenik diyagonal eğriler ve hiperyüzeylerde eşit-eşlenik eğri çiftleri

    Equi-conjugate diagonal curves on a surface associated with a non-tangential vector field and pairs of equi-conjugate curves in a hypersurface

    S.AYNUR UYSAL

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1988

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. ABDÜLKADİR ÖZDEĞER

  5. Tez No

    5343

    Hamilton hareketleri ve lie grupları

    Hamilton motions and lie groups

    YUSUF YAYLI

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1988

    MatematikGazi Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HASAN HİLMİ HACISALİHOĞLU

Geri Dön