Analitik fonksiyonlarda hadamard çarpımı
Başlık çevirisi mevcut değil.
- Tez No: 5230
- Danışmanlar: DR. AHMET DERNEK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1988
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Marmara Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
GZET Analitik iki f(z) ve g(z) fonksiyonlarının Taylor kat- 00 Yi sayıları a ve b olmak: üzere (f*g)(z)=£ a b z şeklinde tanım- J nn ° o n n lanan fonksiyona f(z) ve g(z) fonksiyonlarının Hadamard çarpı mı (Konvolüsyon) denir.. °° n Birim dairede yalnız ve ancak yalınkat ve I a z J J t n (a =1) olan fonksiyonların sınıfı S ile gösterilsin. Biz bu çalışmada f(z) ve g(z) S nin herhangi iki alt sınıfından alın dığında bunların Hadamard çarpımının yine S nin bir alt sınıfı na ait olduğunu inceledik. Bu konuyla ilgili önemli sonuçlardan biri 1958 yılında Polya ve Schoenberg tarafından yapılan aşağı daki tahmindir.: f,geK ise f*geK Bu çarpımın yalınkat ve konvekse yakın olduğu ilk olarak Suffridge tarafından gösterilmiştir, Suffridge daha sonra aşağıda ki önermenin özel durumlarını ispat etmiştir: fEK, g eC ise (f*g) e jC P6lya - Schoenberg tahmininin ispatı 1973 yılında Ruscheweyh ve Sheil-Small tarafından verilmiştir. Birinci bölümde S sınıfının alt sınıflarının tanım ve özellikleri anlatıldı: 1. Yalınkat fonksiyonlar: Bu fonksiyonlar ü birim dairesinde bire bir olan analitik fonksiyonlardır. Bunların sınıfı H. (U) ile gösterilir. 1^ (U) nun elemanlarından f (O ) =f' (0)-l=0 ile normalize edilenlerin ssnıfı S ile gösterilir.?ıı - 2. Reel Kısmı Pozitif Fonksiyonlar: Birim daireyi sağ yarı düzleme resmeden ve z = 0 daki değeri 1 olan analitik bir p(z) fonksiyonuna reel kısmı pozitif fonksiyon denir. Bu fonksiyon ların sınıfı P ile gösterilir. Bir p(z) fonksiyonunun P sınıfına 1+ z ait olabilmesi için gerek ve yeter koşul p(z)<~=-saborflinasyonu- nun yar olmasıdır. f(z) ve g(z) analitik fonksiyonları verildiğinde, f(z) nin g(z) ye sabordine olmasının anlamı f(z)=g(0(z)) olacak şekilde Schwarz lemmasmın koşullarını sağlayan bir 0 e H(U) fonksiyonunun var olmasıdır. geH.(U),f e H(U), f (0) =g (0) ve f(U)<^g(U) koşulla rı sağlandığında yine f(z) g(z) sabordinasyonu geçerlidir. 3. Yıldızıl Fonksiyonlar : Birim daireyi başlangıca göre yıldızıl bir bölge üzerine resmeden yalınkat fonksiyona yıldızıldır denir ve bunların oluşturduğu sınıf S* ile gösterilir. Genel olarak S sınıfına ait bir f(z) fonksiyonu Re{ zf ' (z) /f (z) }> a koşulunu sağ larsa a ınc-ı mertebeden yıldızıl fonksiyon denir. 4. Konveks ve Konvekse Yakın Fonksiyonlar : Birim dairede yalınkat olan ve birim daireyi konveks bir bölgeye resmeden bir fonksiyona konveks fonksiyon denir. Bu sınıf K ile gösterilir. S ye ait bir fonksiyonun konveks olması için gerek ve yeter koşul zf"(Z) 1+fonksiyonunun P ye ait olmasıdır. f'(z)- f(z) normalize edilmiş analitik fonksiyonu verildiğinde Re (zf ' (z)) /g?(z)) >0 -koşulunu sağlayan bir yıldızıl g(z) fonksiyonu varsa f(z) fonksiyonuna konvekse yakın denir. Bu sınıf C ile gösterilir.f e |C ise yalınkattır. 5. Simetrik Noktalara Göre Yıldızıl ve Konveks Fonksiyonlar; z f ' ( z ) Birim dairede analitik olan bir f(z) fonksiyonu Re (-j-? - \,f/_ s)>0 koşulunu sağlarsa simetrik noktalara göre yıldızıl, zf * (z). Air rn*\<r i ^ i _i,t o < A < 1 ; |arg1< - -,,, f(z)-f(-z) 2 eşitsizliğini sağlarsa simetrik noktalara göre X mertebeli güçlü yıldızıl ve-ııı- z(a£.'(z)J» Re () >0 koşulunu sağlarsa simetrik noktalara göre zf ' (z)+zf ! (-z) konveks fonksiyon denir. Bu sınıflar sırasıyla S ',S* (A),K_ ile gösterilir. U da analitik bir f(z) fonksiyonu için Re (zf ' (z)/(K(z)-K(-z)))>0 eşitsizliğini sağlayan K(z) e S* fonk- S siyonu varsa f(z) ye gimetrik noktalara göre konvekse yakın denir. Bu sınıf C ile gösterilir, s ° İkinci Bölümde Hadamard çarpımının tanım ve özellikleri ile bazı fonksiyon sınıfları için verilen sonuçlar incelendi: Hadamard çarpımı değişme, birleşme, toplama üzerine dağıl ma özelliklerine sahiptir. e(z)=l/(l-z) fonksiyonu Hadamard çarpı mında, jbirim eleman rolü oynar. Tanımdan z (f *g) ' =f *zg ' olduğu kolayca görülür. Şimdi Polya-Schoenberg tahmininin Ruscheweyh ve Sheil-Small tarafından yapılan ispatındaki önemli adımları verelim.. i 0(z) ve g(z) analitik fonksiyonları verildiğinde 0(O)=g(O)=O,0' (0)?« 0 g-f (0)^0 koşulları sağlansın. Her bir a, a ( l<x.|#lj {.a j=l) için 0 (z) *(l+aaz) / (1-oz) ^ 0, (0< |z | <1), olsun. Bu ı taktirde F(z)eH(U) ve Re F(z)>0 olAak üzere (0*Fgj(z) Re>0 (*) (0*g)(z) dır. Buna göre 0e!K, g eS ve *0,g eS (y) çifti verildiğinde F(z) EİH(U), Re F(z)>0 olmak üzere (*) eşitsizliğinin gerçeklen- ı diği gösterilebilir. Buradan -j nci mertebeden yıldızıl fonksiyon sınıfı ve simetrik noktalara göre konveks ve yıldızıl fonksiyon sınıfları için aşağıdaki önermeleri verebiliriz. i) 0,geS* (|) ise 0*g£'s* (|) ii) f £ S*,h e K ise f*h e'S s s iii) f e S * (A), he K ise f*h e S * (A) s s-ıv- iv) £ e K,h e.K ise f*h e;K s ' s v) f e C,h e K ise f*h e C s ' s Konvolüsyonun önemli özelliklerinden biri de sabordinasyonu korumasıdır, yani; O.^K, f eH(U) ve f ¥ iken 0*f 0*1' dir. Son-olarak konveks fonksiyonların bir alt sınıfı olan sınırlı konveks fonksiyon sınıfında konvolüsyon ve sabordinasyon özellikleri incelendi: ^zf'(z) l f eK Fonksiyonu|-y|<l + Y » (y*6- ö), eşitsizliğini f(z) Z sağlarsa £(z) ye sınırlı konveks fonksiyon denir. Bu sınıf K ile gösterilir. Buna göre f£fc. (-1 /2^y<0. 13) ve g e M ise f*g e S dır. Yâ -\ için |(f*g)(z)|s v'2 max jzf'(z)| dir. Yine feK, (y^-İ) » ge'S ve h=f*g ise) ^(z) -1-Yİ<1+Y dır. Sundan başka K nm elemanlarının bazı sabordinasyon özelli! leri de aşağıdaki gibidir. feİK, f (z)=((l-az) -1) olsun. -0 zaman ı y ° Ç(z> f (z) zf '?(«)* >i zf ' (z)^-cİ-2- - ; f(z)<|fî r(z),- ° f(z); - I f (z) o
Özet (Çeviri)
Özet çevirisi mevcut değil.
Benzer Tezler
- Bazı analitik fonksiyonların yıldızıllık ve konvekslik yarıçapları
The Radii of starlikeness and convexity of certain analytic functions
SAVAŞ YILDIZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. OSMAN ALTINTAŞ
- Kompleks mertebeden yıldızıl ve konveks fonksiyonlar
Starlike and convex functions of complex order
ÖZNUR ÖZKAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1999
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF.DR. OSMAN ALTINTAŞ