Sınırlı harmonik yalınkat dönüşümlerin yarıçap problemleri
Radius problems of bounded harmonic univalent mappings
- Tez No: 998694
- Danışmanlar: PROF. DR. SEHER MELİKE AYDOĞAN, DOÇ. DR. ASENA ÇETİNKAYA
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Geometrik Fonksiyonlar Teorisi (GFT), klasik analiz ile modern geometrinin uyumlu bir birleşimini temsil eden, kompleks analizin temel ve önde gelen bir dalıdır. Bu alanın tarihsel kökeni ve gelişimi, 19. yüzyıla, özellikle de 1851 yılında Bernhard Riemann tarafından sunulan Riemann Dönüşüm Teoremi'nin dönüm noktası niteliğindeki ispatına dayanmaktadır. Tüm kompleks düzlem olmaması kaydıyla, her basit bağlantılı bölgenin açık birim diske konformal olarak resmedilebileceğini ortaya koyan bu teorem, araştırmacılar için temel bir ilgi noktası olmuş ve Geometrik Fonksiyonlar Teorisi'nin doğuşuna ve gelişmesine etkili bir şekilde öncülük etmiştir. Bu karmaşık yapı içerisinde harmonik fonksiyonlar, iyi bilinen ∆u=(∂^2 u)/〖∂x〗^2 +(∂^2 u)/(∂y^2 )=0 Laplace denkleminin çözümleri olarak vazgeçilmez bir rol oynamaktadır. Harmonik fonksiyonlar teorik fizik, akışkanlar mekaniği, mühendislik ve astronomi dahil olmak üzere çeşitli bilimsel disiplinlerde geniş ve kritik uygulama alanlarına sahiptir. Yalınkat fonksiyonlar teorisi, GFT'nin geniş kapsamı içerisindeki en kritik konulardan biri olarak durmaktadır. 20. yüzyılın başlarındaki çalışmalar bu teorinin ilerlemesini önemli ölçüde hızlandırmıştır. Önemli dönüm noktaları arasında Koebe'nin 1907'deki daha genelleştirilmiş Riemann Dönüşüm Teoremi kavramı, Gronwall'un 1914'teki Alan Teoremi'nin titiz ispatı ve Bieberbach'ın 1916'da normalize edilmiş yalınkat fonksiyonların ikinci katsayısı için ispatladığı |a_2 |≤2 tahmini yer almaktadır. Bu alandaki ilerleme, 1984 yılında Louis de Branges'in uzun süredir çözüm bekleyen Bieberbach Varsayımını başarıyla ispatlamasıyla devrim niteliğinde bir zirveye ulaşmıştır. Bu temel teorem, S sınıfındaki herhangi bir yalınkat fonksiyon için katsayıların aşağıdaki kesin eşitsizliği sağlaması gerektiğini belirtir: |a_k |≤k, ( k≥2) 1984 yılında, Clunie ve Sheil-Small'un ufuk açıcı makalesinin ardından harmonik dönüşümler önemli bir akademik ilgi görmüştür. Yazarlar, analitik yalınkat fonksiyonlar teorisini konformal harmonik yalınkat fonksiyonlara başarıyla genelleştirerek S_H sınıfını tanımlamışlardır. Birim diskte tanımlı bir f harmonik dönüşümü, tipik olarak bir h analitik kısmı ile bir g eş-analitik kısmının toplamı olarak şu kanonik formda temsil edilir: f(z) = h(z) + (g(z)) ̅ Bu tezin temel bilimsel odağı, üçüncü bölümde ayrıntılı olarak ele alındığı üzere, sınırlı harmonik fonksiyonların geometrik kararlılığı ve yarıçap özelliklerinin, özellikle konvolüsyon operatörlerinin etkisi altında incelenmesidir. Yıldızıllık ve konvekslik gibi geometrik özellikler konformal analitik dönüşümler için kalıtsal özellikler olarak kabul edilirken, bu karakteristikler doğrudan harmonik dönüşümler alanına genelleştirilemezler. Bu kalıtsal özelliklerin harmonik durumda başarısız olması, tam yıldızıllık (fully starlike) ve tam konvekslik (fully convex) kavramlarının ortaya çıkmasını gerekli kılmıştır. Bu kavramlar, dönüşümün tüm tanım kümesi boyunca yıldızıl veya konveks kalmasını sağlayarak, her bir |z| < r < 1 alt diskinde harmonik fonksiyonların geometrik davranışını karakterize etmek için hayati öneme sahiptir. Analitik durumda, birim diskte yıldızıl olan bir fonksiyon herhangi bir konsantrik alt diskte de yıldızıldır. Ancak harmonik dönüşümler için bu özellik r yarıçapı 1'e yaklaştıkça kaybolabilir, bu da bu özelliklerin korunduğu spesifik yarıçapların daha titiz bir şekilde belirlenmesini gerektirir. Bu tez, sınırlı analitik fonksiyonların doğal ve gerekli bir genellemesi olarak ortaya çıkan sınırlı harmonik fonksiyonların özel ve karmaşık alanına odaklanmaktadır. Bir f harmonik dönüşümü, verilen bir M sabiti için aşağıdaki koşulu sağlıyorsa açık birim disk D' de sınırlı olarak tanımlanır: |f(z)|< M,(z∈D) Üçüncü bölümde detaylandırılan bu araştırmanın temel amacı, mevcut literatürde henüz araştırılmamış yeni yarıçap problemlerini tanımlamak, formüle etmek ve hesaplamaktır. Bu çalışmada, özellikle belirli kısıtlamalar altında çeşitli sınırlı harmonik dönüşüm alt sınıfları için tam yıldızıllık ve tam konvekslik yarıçaplarının elde edilmesi hedeflemektedir. M sınırlılık koşulunu uygulayarak, bu fonksiyonların geometrik sınırlarının klasik sınırsız durumlara kıyasla nasıl değiştiğini analiz etmekteyiz. Araştırma özellikle, sınırlı analitik fonksiyonların sınırlı harmonik fonksiyonlara genelleştirilen B_H^0 (M) ve B_H^0 (λ,M) sınıflarına odaklanmaktadır. B_H^0 (M) sınıfı için yarıçaplar, kesin katsayı tahminleri kullanılarak türetilmiştir. Yarıçap değerlerinin belirlenmesi, dönüşümün diskin sınırına yaklaşırken sergilediği analitik davranışın incelenmesini içerir. Bu yarıçap değerleri, büyüme teoremlerinden türetilen belirli karmaşık transandant denklemlerin en küçük pozitif köklerinin belirlenmesiyle matematiksel olarak saptanmıştır. Bu sınıfa ait fonksiyonlar için yalınkatlık ve geometrik kararlılık kriteri olarak aşağıdaki katsayı eşitsizliği kullanılmıştır: ∑_(k=2)^∞▒〖k(k-1)(|a_k |+|b_k |)≤M〗 Bu eşitsizlik, B_H^0 (M) sınıfına ait fonksiyonların yalınkatlığını ve geometrik kararlılığını belirlemek için bir kriter görevi görür. Bu yeterli koşulu kullanarak araştırma, sınıf içerisindeki dönüşümlerin yapısal bütünlüğü için titiz bir sınır belirler. Ayrıca, daha genelleştirilmiş olan B_H^0 (λ,M) sınıfı için, harmonik sağ yarı-düzlem dönüşümleri ve harmonik Koebe dönüşümlerini içeren konvolüsyonların (Hadamard çarpımları) yarıçap özellikleri hesaplanmıştır. f_1=h_1+(g_1 ) ̅ve f_2=h_2+(g_2 ) ̅ harmonik fonksiyonlarının konvolüsyonu, ilgili analitik ve eş-analitik kısımlarının Hadamard çarpımı yoluyla şu şekilde tanımlanır: (h_1+(g_1 ) ̅ )*(h_2+(g_2 ) ̅ )=(h_1*h_2 )+((g_1*g_2 ) ̅) Bu bağlamda çalışma, konvolüsyon işleminin M sınırlılık koşulunun etkisi altında bu dönüşümlerin konvekslik ve yıldızıllık özelliklerini nasıl koruduğunu veya değiştirdiğini titizlikle incelemektedir. Standart analitik durumun aksine, iki harmonik dönüşümün konvolüsyonu bileşenlerinin geometrik özelliklerini her zaman doğrudan devralmaz. Bu nedenle, maksimum yarıçapın belirlenmesi, ağırlık parametresi λ dikkate alınarak yeni kesin katsayı tahminlerinin türetilmesini gerektirir. Gelişmiş analitik teknikler ve kesin katsayı eşitsizlikleri kullanılarak, bu çalışmada sınırlı sınıfları klasik sınırsız emsallerinden ayıran tam yıldızıllık ve tam konvekslik yarıçap sınırları elde edilmektedir. Araştırmanın bu bölümü, M sınırlılık parametresinin kararlılık yarıçapını önemli ölçüde artırdığını ve konvolüsyonun tam yıldızıl veya tam konveks kaldığı alanı etkili bir şekilde genişlettiğini vurgulamaktadır. Elde edilen yarıçap değerleri, sınırlılık kısıtlaması ile konvolüsyonun kuvvet serisi arasındaki etkileşimden doğan transandant denklemlerin en küçük pozitif köklerinin saptanmasıyla elde edilmiştir. Tez titizlikle üç kapsamlı bölüm halinde yapılandırılmıştır. İlk bölüm, pozitif reel kısma sahip fonksiyonların incelenmesi ve subordinasyon ilkesi dahil olmak üzere analitik yalınkat fonksiyonların temel ilkelerini belirler. İkinci bölüm, harmonik dönüşümler alanına geçiş yapar. Üçüncü bölüm ise yarıçapların hesaplandığı ve tanımlanan fonksiyon aileleri için kesin sınırların belirlendiği orijinal bulguları ve literatüre kazandırılan yeni teorem sonuçlarını kapsar. Sonuç olarak, bu tez çalışması kapsamında elde edilen bulgular, sınırlı harmonik dönüşümlerin geometrik kararlılığına dair özgün ve derinlikli perspektifler sunmaktadır. Matematiksel olarak saptanan kesin yarıçap değerleri, mevcut Geometrik Fonksiyonlar Teorisi literatüründeki önemli bir teknik eksikliği gidermekle kalmayıp, daha genel fonksiyon sınıflarını ve operatör teorisini kapsayan gelecek araştırmalar için genişletilebilir ve sağlam bir kuramsal temel oluşturmaktadır.
Özet (Çeviri)
Geometric Function Theory (GFT) is a prominent and fundamental branch of complex analysis that represents a harmonious blend of classical analysis and modern geometry. The historical roots and the evolution of this field date back to the 19th century, specifically to the landmark proof of the Riemann Mapping Theorem in 1851 by Bernhard Riemann. This theorem, which establishes that every simply connected domain provided it is not the entire complex plane can be conformally mapped onto the open unit disc, provided the primary attraction for researchers and effectively led to the birth and flourishing of Geometric Function Theory. Within this intricate framework, harmonic functions play an essential and irreplaceable role as solutions to the well-known Laplace's equation: ∆u=(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/〖∂y〗^2 =0 These functions find extensive and critical applications across diverse scientific disciplines, including theoretical physics, fluid mechanics, engineering, and astronomy. The theory of univalent functions stands as one of the most critical subjects within the broader scope of GFT. Early 20th-century developments significantly accelerated the formalization of this theory. Notable milestones include Koebe's more generalized concept of the Riemann Mapping Theorem in 1907, Gronwall's rigorous proof of the Area Theorem in 1914, and Bieberbach's famous 1916 estimate for the second coefficient of normalized univalent functions, stated as |a_2 |≤2. The progress of the field reached a revolutionary peak in 1984 when Louis de Branges successfully provided the proof for the long-standing Bieberbach Conjecture. This fundamental theorem states that for any univalent function in the class S, the coefficients must satisfy the following inequality: |a_k |≤k, (k≥2) In 1984, harmonic mappings gained substantial academic attention following the seminal paper by Clunie and Sheil-Small. They successfully generalized the theory of analytic univalent functions to conformal harmonic univalent functions, defining the significant class S_H. A harmonic mapping f defined in the unit disk is typically represented as the sum of an analytic part h and a co-analytic part g, expressed in the canonical form: f(z) = h(z) + (g(z)) ̅ The primary scientific focus of this thesis, detailed extensively in the third chapter, is the investigation of the geometric stability and radius properties of bounded harmonic functions, particularly under the influence of convolution operators. While geometric properties such as starlikeness and convexity are considered hereditary (or internal) properties for conformal analytic mappings, these characteristics cannot be directly or simply generalized to the domain of harmonic mappings. The failure of these hereditary properties necessitated the emergence of the concepts of“fully starlike”and“fully convex”mappings. These notions are crucial to characterize the geometric behavior of harmonic functions over every sub-disk |z| < r < 1, ensuring that the mapping remains starlike or convex throughout the entire domain. In the analytic case, a function that is starlike in the unit disk is also starlike in any concentric sub-disk. However, for harmonic mappings, this property may vanish as the radius r approaches 1, requiring a more rigorous determination of the specific radii where these properties are preserved. This thesis focuses on the specific and sophisticated domain of bounded harmonic functions, which arose as a natural and necessary generalization of bounded analytic functions. A harmonic mapping is defined as bounded within the open unit disk D if it satisfies the following condition for a given constant M: |f(z)|< M,(z∈D) The primary objective of this research, detailed extensively in the third chapter, is to identify, formulate, and calculate new radius problems that have not yet been explored in the existing literature. The investigation specifically targets to get the radii of fully starlikeness and fully convexity for various subclasses of bounded harmonic mappings under specific constraints. By imposing the boundedness condition M, we analyze how the geometric boundaries of these functions shift compared to the classical unbounded cases. The research specifically focuses on B_H^0 (M) and B_H^0 (λ,M) classes, which are generalized bounded analytic functions to bounded harmonic functions. For the B_H^0 (M) class, the radii are derived using precise coefficient estimates. The determination of radius involves analyzing the analytical behavior of the mapping as it approaches the boundary of the disk. These radius values are mathematically determined by identifying the smallest positive roots of certain complex transcendental equations derived from the growth theorems. For functions belonging to this class, the following fundamental coefficient inequality is utilized as a criterion for univalence and geometric stability: ∑_(k=2)^∞▒〖k(k-1)(|a_k |+|b_k |)≤M〗 This inequality serves as a criterion for determining the univalence and geometric stability of the functions under consideration. By utilizing this sufficient condition, the research establishes a rigorous boundary for the structural integrity of the mappings within the class. Furthermore, for the more generalized B_H^0 (λ,M) class, the investigation delves into the radius properties of convolutions, also known as Hadamard products, involving specific extremal functions. Specifically, the interactions between bounded harmonic mappings and classical benchmarks, such as harmonic right half-plane mappings and harmonic Koebe mappings, are calculated and analyzed. The convolution of two complex-valued harmonic functions f_1=h_1+(g_1 ) ̅ and f_2=h_2+(g_2 ) ̅ is defined through the Hadamard product of their respective analytic and co-analytic parts as follows: (h_1+(g_1 ) ̅ )*(h_2+(g_2 ) ̅ )=(h_1*h_2 )+((g_1*g_2 ) ̅) In this context, the study meticulously investigates how the convolution operation preserves or alters the convexity and starlikeness properties of these mappings under the strict influence of the boundedness condition M. Unlike the standard analytic case, the convolution of two harmonic mappings does not necessarily inherit the geometric properties of its components. Therefore, the determination of the maximum radius requires the derivation of new sharp coefficient estimates that account for the weight parameter λ. By employing advanced analytic techniques and sharp coefficient inequalities, the study provides precise radius of fully starlikeness and radii of fully convexity boundaries that distinguish these bounded classes from their classical, unbounded counterparts. This part of the research highlights that the boundedness parameter M significantly enhances the radius of stability, effectively expanding the domain where the convolution remains fully starlike or fully convex. The resulting radius values are obtained by identifying the smallest positive roots of transcendental equations that arise from the interaction between the boundedness constraint and the convolution's power series. The thesis is meticulously structured into three comprehensive chapters. The first chapter establishes the foundational principles of analytic univalent functions, including the study of functions with positive real part and the subordination principle. The second chapter transitions into the realm of harmonic mappings. The third chapter presents the original mathematical contributions, where the radii are calculated and the sharp boundaries for the defined function families are established. In conclusion, the findings obtained within the scope of this thesis provide original and profound insights into the geometric stability of bounded harmonic mappings. The mathematically established sharp radius values not only address a significant technical gap in the current Geometric Function Theory literature but also constitute an extensible and robust theoretical foundation for future investigations involving more generalized function classes and operator theory.
Benzer Tezler
- Kam yapma aparatı
Cam milling attachment
ORHAN UZUN
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
Makine MühendisliğiGazi ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. FEVZİ ERCAN
- Sürücülerde kandaki alkol miktarı ile trafik kazası arası ilişki
Başlık çevirisi yok
Z.SEMRA GÜMRÜKÇÜ
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
UlaşımGazi ÜniversitesiKazaların Çevresel ve Teknik Araştırması Ana Bilim Dalı (disiplinlerarası)
PROF. DR. RIDVAN EGE
- Pre-eklampsi ve eklampsi vakalarında immünoglobülin düzeylerinin değerlendirilmesi (Klinik ve immünobiolojik araştırma)
Examination des valeurs d'immunoglobulines en cas de la toxemie gravidique
M. MURAT SEMİZ
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
1987
Kadın Hastalıkları ve DoğumGazi ÜniversitesiKadın Hastalıkları ve Doğum Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MÜLAZIM YILDIRIM
- Çocuklarda akut stres hiperglisemisinde hormonal değişikliklerin ve kısa süreli prognozun incelenmesi
Başlık çevirisi yok
AYGÜN DİNDAR
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
1987
Çocuk Sağlığı ve Hastalıklarıİstanbul ÜniversitesiÇocuk Sağlığı ve Hastalıkları Hemşireliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HÜLYA GÜNÖZ