Leıbnız prop ıs a crossed presımplıcıal algebra
Leıbnız propu bir çaprazlanmış yarı-simpleksel cebirdir
- Tez No: 989899
- Danışmanlar: PROF. DR. ATABEY KAYGUN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Birçok matematik alanında ayrı ayrı kümeler üzerinde tanımlı farklı işlemler ortak özelliklere sahiptir. Örneğin, gerçel sayılarda toplama işlemi, fonksiyon uzaylarında fonksiyonların bileşke işlemi ve matris uzaylarında matris çarpımı işlemi. Bu işlemler birbirinden farklı kümelerde değişik şekilde tanımlanmalarına rağmen her biri birleşme özelliğini sağlarlar. Yani bu kümelerden herhangi biri için üç tane $a $, $ b$ ve $c$ elemanlarını düşünürsek $(a\cdot b) \cdot c$ işleminin sonucu her ayrı örnekte her zaman $a\cdot (b \cdot c)$ işleminin sonucuna eşittir. Bu ortak özellikler birim elemanın varlığıyla birlikte \emph{monoid} denilen cebirsel bir yapıyı tanımlar. Her monoid birleşme özelliğine haiz olduğundan, işlem sırası veya diğer bir deyişle parantezlerin nereye konulduğu farketmeksizin $n$ tane elemanın art arda işleme sokulmasıyla elde edilen $$a_1 \cdot a_2 \cdots \cdot a_n$$ çarpımı aynı sonucu verir. Buradan görüldüğü üzere, her bir örneği ayrı ayrı ele almak yerine bu örneklerin sahip oldukları ortak soyut yapıyı incelemek ve onunla ilgili çıkarımlarda bulunmak matematiksel olarak daha zengin ve farklı bağlamlarda uygulanabilir sonuçlar elde etmemizi sağlar. Bu yüzden soyutlama yapılır ve bu soyutlamalar üzerine çalışılır. Yarıgrup, monoid, grup, halka, değişmeli cebirler, Leibniz cebirleri, Lie cebirleri gibi birçok cebirsel yapıyı yani kümeler üzerine tanımlı belirli işlemleri tanımlamak için birim elemanlar(bazen) ve işlemlerin sağlaması istenen bağıntılar gerekir. Bu da doğal olarak şu soruyu akla getirir: her bir cebirsel yapıyı ayrı ayrı çalışmak yerine bu cebirsel yapıları aynı çerçevede farklı şekilde ifade edebileceğimiz bir üst soyut yapı kurgulanabilir mi? Bu soru operad yapısı ile olumlu olarak cevaplanıyor. Operadlar çok girdili işlemleri (sadece ikili işlemleri değil) ve bu işlemlerin bileşke kurallarını (doğrusal olmak kaydıyla) formalize etmek amacıyla tasarlanmıştır. Özel olarak operadların matematik ve fizikte yer alan doğrusal bağıntılarla tanımlı cebirlerin modellenmesi için kullanışlı bir araç olduğu görülmüştür. Operad ismi J.P.May tarafından 1972 yılında \cite{may1978uniqueness} makalesinde ortaya atılmıştır. Operadlar, cebirsel topolojide yer alan yinelemeli döngü uzaylarını incelemek için icat edilen cebirsel yapılar olarak ortaya çıkmıştır. İngilizce olarak“operations”yani işlemler ve“monad”kelimelerinden melezlenerek türetilmiştir. İsim babası J.P. May olsa da operada benzer yapılar J.D.Stasheff \cite{Stasheff1963}, M.Boardman ve R.M.Vogt \cite{zbMATH03264763} tarafindan da çalışılmıştır. Döngü uzaylarında işlem iki döngüyü birbirine ekleyerek tek bir döngü elde edilmesi olarak tanımlanır. Bu işlem döngü uzayında değil ancak döngü uzayının homotopi sınıflarında birleşmeli bir işlem verir. Dolayısıyla operadların homotopi teorisiyle ve bunun sonucu olarak homolojik cebir alanıyla temel bir bağı vardır. 1990'larda operadlara ve bağlantılı yapılara olan ilgi kayda değer bir şekilde yeniden canlandı~\cite{loday1996operads}. Cebirsel geometri, matematiksel fizik ve homolojik cebir alanlarında geniş uygulamaları hâlâ kullanılmakta. Bunun büyük bir nedeni genelde bağımsız çalışılan farklı cebirleri sistematik bir dil ile tarif edebiliyor oluşudur. Bu tezde ispatlanan işlerden birisi de Leibniz cebirleri ile birleşmeli cebirler arasında farklı bir açıdan böyle bir bağlantı kurulmasıdır. Operadları çok girdili (herhangi bir $n\in \B{N}$ için $n$-girdili) ve tek çıktılı işlemler bütünü olarak düşünebiliriz. Görsel ve çizgesel olarak ikili bir işlemi veya kümemizden seçilen herhangi iki elemanın $a,b$ çarpımını $a\cdot b$ aşağıdaki diyagramla temsil edebiliriz: Yukarıdaki diyagramda görüldüğü üzere eğer operadın üreteç kümesinde bir ikili işlem var ise, o zaman bu işlemi art arda $n$ kere uyguladığımızda $n+1$ girdili ve tek çıktılı bir işlem elde ederiz. Tabii ki genel olarak ikili işlemin uygulanma sırası değiştiğinde farklı $n+1$ girdili ve tek çıktılı işlemler verir. Yani yukarıdaki eşitlik her cinsten cebir için sağlanmayabilir. Operadların simetrik, örgülü ve simetrik olmayan versiyonları vardır. Eğer işlemlerimizde \emph{sıralı} girdilerin yerini değiştirmek istiyorsak bu işlemler üzerinde örgülü veya simetrik grubun etkisini tanımlamamız gerekir. Mesela değişmeli cebirleri modelleyen operadı tanımlamak istiyorsak simetrik etki olmadan tanımlayamayız. Bu durumda değişmeli cebirlerin bağıntısı yani $a\cdot b = b\cdot a$ aşağıdaki diyagramların eşitliğiyle verilir: Yani operaddaki her işlem sıralı bir şekilde düşünülüyor, dolayısıyla yukarıdaki iki diyagram herhangi bir simetrik operadda farklı işlemleri temsil edebilir. Operadları tanımlamanın birbirine denk birden fazla yolu vardır ve biz üç tanesine tezimizde yer vermekteyiz. Tezin ilk bölümünde operadların tanımına örnekler vasıtası ile tafsilatlı bir şekilde yer ayırıyoruz. İlk olarak operadları tanımlamak için simetrik monoidal bir kategorinin doğal sayılarla indekslenmiş objeler kümesi alarak başlarız. Her $n\in \B{N}$ için bu objeler $n$ girdili ve tek çıktılı işlemleri temsil ederler. Sonrasında bu objeler arasında operadik bileşke morfizmaları ailesini tanımlarız. Bu ailenin sağlaması gereken koşulları değişmeli diyagramlar aracılığıyla ifade ederiz. Bu koşullar simetrik olmayan versiyon için birimsellik ve birleşme özelliği olmak üzere iki ana başlık altında incelenebilir. Bu tezde pratikte $\lvec{\Bbbk}$ simetrik monoidal kategorisinden objeler alacağız. Yani her bir işlemi bir $\Bbbk$-vektör uzayında bir vektör elemanı olarak düşünebiliriz; dolayısıyla $n$ girdili işlemler toplama ve bir skalar ile çarpım altında kapalı bir küme olarak ifade edilirler. Simetrik operadlar ise simetrik olmayan operadlara ek olarak tanımlanan başka koşullar gerektirir. Herhangi bir işleme girdi sayısıyla örtüşen bir şekilde devşirim(permütasyon, simetri) gruplarının belirli şartları sağlayan etkisi tanımlanır. Operadları bir anlamda genelleyen, çok girdili ve tek çıktılı işlemlerin yanı sıra çok girdili ve çok çıktılı işlemleri de bünyesinde barındıran yapılara PRO(P) denilir. İsmini“PRoduct Operations”yani çarpım işlemleri ile (eğer operad simetrik ise)“Permutations”yani devşirimler kelimelerinin birleşiminden alır. Bu yapı, objeleri doğal sayılar olan ve morfizmaları ise $n$ girdili $m$ çıktılı işlemler kümesi olan bir kategori olarak tanımlanır. Her operaddan doğal olarak bir PRO(P) türetilebilir. Bu durumda morfizmalar çok girdili ve tek çıktılı işlemlerin yan yana dizilimi ile elde edilir. Mesela aşağıdaki diyagram bir operaddan türetilen PROP kategorisinde $6$ girdili ve $3$ çıktılı bir işlemi temsil eder: Bu morfizmanın operadda var olan $3$ adet işlemin yan yana dizilimiyle elde edildiği görülmekte. Diyagramda yan yana dizmek ise cebirsel olarak PRO(P) kategorisinde morfizmaları monoidal toplamaya karşılık gelir. Yani yukarıdaki morfizma $[3] \xrightarrow{f_1} [1]$, $[2] \xrightarrow{f_2} [1]$ ve $[1] \xrightarrow{f_3} [1]$ morfizmalarının toplamı $f_1 \oplus f_2 \oplus f_3 : [6] \to [3]$ olarak yazılabilir. Elde edilen morfizmayı tanımlarken monoidal toplamın dolayısıyla yanyana dizmenin sırası önemlidir. Ayrıca eğer bir operad $\lvec{\Bbbk}$ kategorisi üzerinde yazılmış ise bundan türetilen PRO(P) da bize bir $\Bbbk$-doğrusal kategori verir; yani morfizma kümelerinin her biri birer $\Bbbk$-vektör uzayıdır. Bu inşa bize şunu gösteriyor; doğrusal bağıntılarla tanımlı her cins cebir için onu modelleyen bir PRO(P) yazılabilir. Yazılan PRO(P)lar daha çok homoloji teorisinde karşımıza çıkan, cebirin kendisiyle çoklu tensör çarpımından bir başka çoklu tensör çarpımına yazılan sınır fonksiyonları ile yakından ilgilidir. Mesela üzerinde ikili işlem tanımlanan bir $\Bbbk$-vektör uzayı $A$'nın tensör kuvveti $A^{\otimes 6}$'dan basit bir tensör $a_1 \otimes a_2 \otimes a_3 \otimes a_4 \otimes a_5 \otimes a_6$ düşünelim. Yukardaki diyagram aşağıda basit tensörlerde tanımlanan $A^{\otimes 6} \to A^{\otimes 3}$ fonksiyonunu temsil etmektedir. $$a_1 \otimes a_2 \otimes a_3 \otimes a_4 \otimes a_5 \otimes a_6 \to a_1 \otimes a_2 \otimes a_3 \otimes (a_4 \cdot a_5) \otimes a_6 \to$$ $$\to a_1 \otimes (a_2 \cdot a_3) \otimes (a_4 \cdot a_5) \otimes a_6\to (a_1 \cdot(a_2 \cdot a_3)) \otimes (a_4 \cdot a_5) \otimes a_6$$ Kolaylıkla görülebileceği üzere bu fonksiyon $A$ cebirini tanımlayan ikili işlemin yani bir $A \otimes_{\Bbbk} A \to A$ fonksiyonunun art arda belirli bir sırayla uygulanmasıyla türetilmiştir. Bu tip fonksiyonlar cebirlerin homoloji hesaplarında sıklıkla karşımıza çıkar. Özel olarak bu tezde ilgilendiğimiz Lebniz cebirlerinin homolojisinde buna benzer fonksiyonlar kullanılır. $\Bbbk$ vektör uzayı üzerinde tanımlı bir $\mathfrak{g}$ Leibniz cebirini ele alalım. $g_1, \ldots , g_n \in \mathfrak{g} $ olmak üzere sınır fonksiyonu $d$ olan aşağıdaki şekilde bir zincir kompleksini yazabiliriz: $$ \cdots \rightarrow \mathfrak{g}^{\otimes n} \xrightarrow{d} \mathfrak{g}^{\otimes n-1} \rightarrow \ldots \rightarrow \mathfrak{g} \rightarrow \Bbbk $$ $$ d\left(g_1 \otimes \ldots \otimes g_n\right)=\displaystyle\sum_{1 \leq i<j \leq n}(-1)^j\left(g_1 \otimes \ldots \otimes g_{i-1} \otimes\left[g_i, g_j\right] \otimes g_{i+1} \otimes \ldots \otimes \hat{g}_j \otimes \ldots \otimes g_n\right) $$ Eşitliğin sağ tarafında toplamda yer alan her terim PROP üzerinde $n$ girdili $n-1$ çıktılı bir morfizmaya karşılık gelir. Bu zincir tanımı nevi kendine münhasırdır(ad hoc). Tezimizde bu tanımın bilinen birçok homoloji tanımında kullanılan simpleksel kategori ile esasen yakından bağlantılı olduğunu gösteriyoruz. PROPlarda morfizmaların bileşke tanımı morfizmalara ilişkin diyagramların alt alta konulması olarak düşünülebilir. Örneğin aşağıdaki diyagram $[4] \xrightarrow{f_1} [3]\xrightarrow{f_2} [2] \xrightarrow{f_3} [2]$ olmak üzere üç tane morfizmanın bileşkesini temsil ediyor: PROPlar çok girdili ve çok çıktılı işlemleri modellediklerinden ötürü, sadece girdilerin sırasını değil yukarıda görüldüğü gibi çıktıların sırasını da değiştirmek doğal olarak mümkündür. Bu da matematiksel olarak devşirim gruplarının operadların aksine sadece sağdan değil sağdan ve soldan etkisinin var olması demektir. PROPlarda bileşke tanımında (bkz. Bölüm \ref{sect:compprop}) tam olarak bu sol etkinin sağ etkiye çevirilmesi tarif edilir ve farklı kaynaklarda oldukça karmaşık anlatılmıştır \cite[Bölüm 3]{BASTERRA2018130},\cite[Bölüm 4.1]{may1978uniqueness},\cite[s.21]{leinster2000homotopy}. Tezimizde PROPlarda devşirim gruplarının soldan etkisini bu karmaşık tanımlar yerine üreteci tek bir ikili işlem olan operadlara ilişkin PROPlar özelinde kategori cebirleri üzerinden yeni bir çerçevede ele alıyoruz. Esasında bahsedilen PROPların morfizmaları ile ilgilendiğimizden bunların kategori cebirlerini farklı bir şekilde ele alarak bileşke alma işlemini bir dağılım yasası ile açıklıyoruz. Şunu farkediyoruz ki kategorimizdeki morfizmalar sadece iki morfizma ailesinin bileşkeleri olarak yazılabilir; ikili işlemden gelen çarpma (diyagramlarda iki ipliğin birleşimi) ve devrinimler (diyagramlarda diğer ipler sabitken sadece ardışık iki ipliğin yer değiştirmesi). Bizim yaptığımız tanımlarda monoidal toplam her bir üretece içkin olarak bulunmakta ve bu bize bir hesap kolaylığı sağlamaktadır. Başka bir deyişle biz yatay monoidal toplamdansa dikey bileşkelerle ilgileniyoruz. Bunun sonucu olarak daha doğal ve farklı bağlamlara genişletilebilecek bir soyutlama elde ettiğimiz de söylenebilir. Özel olarak devrinimlerin üreteç olduğu uzay belli bölmeler altında Artin örgü monoidlerini $B_n$ de verebilir, devşirim gruplarını $S_n$ da verebilir. Elde ettiğimiz sonuç da literatürde var olan $\Delta^+$ ile $S_n$ arasındaki dağılım yasasını \cite[E.6.1.7]{LodayCyclicHomology} genelleştiriyor. Bütün bunlara ek olarak bu dağılım yasası bize herhangi iki morfizmanın bileşimi sonucunu önce girdilerin devşirimi ardından ikili işlemler olarak sırayla nasıl yazacağımızı söylüyor. Tezin ana sonucu Lebniz operadına ilişkin PROPun çaprazlanmış bir yarı-simpleksel cebir olduğunun gösterimidir. Yukarıdaki zincir kompleksinde sınır fonksiyonunu tanımlayan terimlerin doğrusal toplamlarına karşılık gelen Leibniz PROP kategorisinde birer morfizma ($\rho_i^j$'ler) olarak ele alınırsa bunların doğrusal yarı-simpleksel kategorideki $\Bbbk[(\Delta^+)^{op}]$ morfizmalar ile aynı bağıntıları sağladığını kanıtlıyoruz. $\rho_2^2$ morfizmasını temsil eden diyagram aşağıda görülebilir: $\rho_i^j$ morfizmalarına devrinimleri de üreteç olarak eklediğimizde (monoidal olarak değil, yani sadece dikey bileşke düşünülürse) Leibniz PROPunun tamamını bu morfizmaların bileşkeleriyle elde edebildiğimizi gösteriyoruz. Diğer bir deyişle Leibniz PROPunun $\Bbbk[(\Delta^+)^{op}\B{S}]$'ye $\Bbbk$-doğrusal kategoriler olarak eşyapılı olduğunu kanıtlıyoruz. Ancak bu kategoriyi tanımlarken kullanılan $\Bbbk[(\Delta^+)^{op}]$ ile $\Bbbk[\B{S}]$ arasındaki dağılım yasasını literatürden farklı olarak tanımlıyoruz. Bu yeni dağılım yasası da devrinimler ile $\rho_i^j$'lerin Leibniz PROPunda bileşkesine bakılarak doğal olarak yazılmıştır. Şu da kıyas açısından not edilmeli, birim eleman içermeyen birleşimli cebirlerin operadına ilişkin PROP, literatürde bilinen dağılım yasası ile yazılan $\Bbbk[(\Delta^+)^{op}\B{S}]$ kategorisi ile verilir. Tezimizdeki sonuçlar \cite{acskarougullari2025leibniz} çalışmamıza dayanmaktadır.
Özet (Çeviri)
Leibniz algebras are non-commutative analogues of Lie algebras. Like any other algebraic structure, there is an operad and a PROP associated to the operad, that organizes all algebraic operations on that algebraic structure in a combinatorial and categorical framework. There are PRO(P)s for algebras of different types (magmatic, associative, commutative, Lie, Leibniz, Poisson, Jacobian, etc.). They come in different flavors (plain set, linear, piecewise linear, topological, homotopical, simplicial, differential graded, etc.), but are always considered as symmetric or braided monoidal categories. Our key observation is that forgetting the monoidal structure of a PRO(P) yields a $\Bbbk$-linear category, and this reduction allows us to embed $\Bbbk[(\Delta^+)^{op}]$ into $\text{cat}\textbf{Leib}$. The specific parametrizing $\Bbbk$-linear categories (combinatorial operations categories) we are going to consider in this thesis are as follows: \begin{enumerate}[(a)] \item $\Mag$ for magmatic algebras, i.e., algebras with a binary operation with no other condition. \item $\Simp$ for (nonunital) associative algebras. \item $\Sym$ for graded vector spaces with compatible actions of symmetric groups $\B{S} = \bigsqcup_{n\geq 1} S_{n}$. \item $\Braid$ for graded vector spaces with compatible actions of Artin braid monoids $\B{B} = \bigsqcup_{n\geq 1} B_{n}$. \item $\Leib$ and $\Leib^{op}$ for left and right Leibniz algebras. \end{enumerate} We define each of these categories by specifying explicit generators and relations, and we provide an explicit description of the distributive laws between the relevant categories on these generators. The proofs we give in this thesis are highly algebro-combinatorial in nature, and in theory, should yield themselves for machine verification as in~\cite{BremnerMarkl19, Bremner_2020}, but we meticulously check them by hand aided by string diagrams. Our main result is Theorem~\ref{thm:MainResult} in which we show that the parametrizing $\Bbbk$-linear category $\Leib$ for Leibniz algebras is isomorphic to a twisted product of $\Simp$ (which is isomorphic to the categorical algebra of the opposite of $\Delta^+$, the subcategory of epimorphisms in the simplicial category $\Delta$) and $\B{S}$. The isomorphism, however, is just an isomorphism of $\Bbbk$-linear categories, not of monoidal $\Bbbk$-linear categories. Moreover, the twisted product is determined by a distributive law between $(\Delta^+)^{op}$ and $\B{S}$, but not the standard one. Such objects defined by the distributive laws between the (pre)simplicial category and groups are usually called $\emph{crossed simplicial groups}$~\cite{Fiedorowicz_1991}. Since we are defining everything in $\Bbbk$-linear categories we adopt the terminology crossed presimplicial algebra instead of crossed presimplicial group.
Benzer Tezler
- Leibniz ve Muhammed İkbal'de Tanrı-alem ilişkisi
Başlık çevirisi yok
VELİ URHAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1988
DinDokuz Eylül Üniversitesiİslam Medeniyeti ve Sosyal Bilimler Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET AYDIN
- Leibniz'de kesin bilgi sorunu
Başlık çevirisi yok
MEHMET CELEP
Yüksek Lisans
Türkçe
1990
Felsefeİstanbul ÜniversitesiSistematik Felsefe ve Mantık Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ULUĞ NUTKU
- Leibniz'de tanrı-alem ilişkisi
Başlık çevirisi yok
ALİYE ÇINAR
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
DinUludağ ÜniversitesiFelsefe ve Din Bilimleri Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ZEKİ ÖZCAN
- La physique de Leibniz du Conatus à la force
Conatus'tan kuvvete Leibniz fiziği = Physics of Leibniz from the Conatus to the force
EYLEM HACIMURATOĞLU
