Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces
Öklid ve Minkowski uzaylarındaki bikonzörvatif ve biharmonik yüzeyler
- Tez No: 886907
- Danışmanlar: DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY, DOÇ. DR. RÜYA ŞEN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
1960'ların ortalarında Sampson ve Eels, enerji fonksiyonelinin fiziksel ve geometrik özelliklerini araştırırken harmonik tasvirlerin genelleştirilmiş bir versiyonu olan $k$-harmonik tasvir kavramını diferansiyel geometriye kazandırdılar. Bu tanımın sunulmasının ardından birçok geometrici, biharmonik tasvirler üzerine çalışmalar yapmaya başladı.\\ $(M^m,g)$ ve $(N^n,\tilde{g})$ yarı Riemann manifoldları arasındaki $E_2$ bienerji fonksiyoneli her $\varphi: M \to N$ düzgün tasviri için $$E_2(\varphi)=\frac {1}{2} \int_M \|\tau(\varphi)\|^2 v_g$$ şeklinde tanımlanır ki burada $\tau(\varphi)$ ile $\varphi$ tasvirinin gerilme alanı gösterilmektedir. $\varphi$ tasvirine eğer $E_2$ bienerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise biharmoniktir denir. Bu şart $$\tau_2(\varphi)=0$$ şeklindeki Euler- Langrange denkleminin sağlanmasına dentir ki burada $\tau_2$ ile $$\tau_2(\varphi):=\Delta\tau(\varphi)-\mathrm{tr\,} \tilde{R}(d\varphi,\tau(\varphi))d\varphi$$ şeklinde tanımlanan bi-gerilme alanı gösterilmiştir.\\ 1980'lerin ortalarında, B. Y. Chen, sonlu tipteki alt manifoldların yapısı üzerine araştırmalar yaparken, ayrıca biharmonik alt manifoldları inceledi ve Öklid uzaylarındaki biharmonik alt manifoldların tanımını sundu. Daha sonra, bu tanım yarı-Öklid uzaylarına genişletildi. $\mathbb E^n_r$ yarı Öklid uzayından $M^m$ alt manifolduna giden bir $x:M \to \mathbb E^n_r$ izometrik daldırması göz önüne alınsın. Bu tasvirin biharmonik olması için gerek ve yeter koşul $$\Delta^\perp H+\mathrm{trace}h(A_H(\cdot),\cdot)=0,$$ ve $$m\mathrm{grad} \Vert H \Vert^2 +4\mathrm{trace} A_{\nabla^\perp_\cdot H}(\cdot)=0$$ denklemleriyle verilen dördüncü dereceden yarı-lineer kısmi diferansiyel denklem sisteminin sağlanmasıdır.\\ Diğer taraftan, eğer bir $\varphi: M \to N$ tasvirine daha zayıf bir koşul olan $$\langle \tau_2(\varphi), d\varphi \rangle = 0,$$ denklemini sağlıyorsa bikonzörvatiftir denir. Ayrıca, eğer özel olarak $x: M \to N$ bir izometrik daldırma ise bir önceki denklem $$\tau_2(x)^\top = 0$$ halini alır ki burada $\tau_2(x)^\top$ ile $\tau_2(x)$ vektör alanının teğet kısmı gösterilmiştir. Bu durumda, $M$ yüzeyi $N$ yüzeyinin bir bikönzervatif alt manifoldudur.\\ $M$ alt manifoldunun ortalama eğrilik vektörü ve ortalama eğriliği, sırasıyla, $$H=\frac 1m\mathrm{trace}h$$ ve $$f=\sqrt{\vert\langle H,H\rangle\vert}$$ denklemleriyle tanımlanır ki burada $h$ ile $M$ alt manifoldunun ikinci temel formu gösterillmiştir. $f\neq0$ olduğu varsayılsın. Eğer $\frac{H}{f}$ vektör alanı paralel ise $M$ alt manifolduna paralel normalleştirilmiş ortalama eğrilik vektörüne (PNMCV) sahiptir denir.\\ Diğer taraftan, $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki hiperbolik, zamansal ve parabolik dönel yüzeylerin parametrizasyonları, sırasıyla, $$F_1(s,t) = (x(s),y(s),w(s)\sinh{t},w(s)\cosh{t}), s\in I, t \in [0,2\pi],$$ $$F_2(s,t) = (x(s),y(s),w(s)\cosh{t},w(s)\sinh{t}), s\in I, t \in [0,2\pi]$$ ve $$F_3(s,t)=x(s)\eta_1+\sqrt{2}tw(s)\eta_2+(z(s)+t^2w(s))\xi_3+w(s)\xi_4, s\in I, t \in \mathbb{R}$$ şeklindedir. Burada $x,y$ ve $w$ düzgün birer fonksiyondur ve $\eta_1, \eta_2, \xi_3, \xi_4$ $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki sözde- ortonormal çatı alanı oluşturan sabit vektörlerdir.\\ Bu tezde öncelikli olarak $\mathbb E^4$ deki bikonzörvatif PNMCV yüzeylerle çalışılmıştır. Daha sonra ise $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki dönel yüzeylerin bikonzörvatif olması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir.\\ İlk bölümde, biharmonik ve bikonzörvatif alt manifoldlara ilişkin tarihsel arka plan ve temel ilkelere kısa bir genel bakışın yanı sıra bu alanda şimdiye kadar elde edilmiş sonuçlar sunulmaktadır. İkinci bölümde yarı-Öklid uzaylarının alt manifoldları, bikonzörvatif alt manifoldlar ve dönel yüzeyler hakkında bazı temel gösterimler verilmiştir.\\ Üçüncü bölümde, $\mathbb E^4$ uzayında bikonzörvatif PNMCV yüzeylerle çalışılmıştır. Bu yüzeylerin lokal parametrizasyonları elde edilmiştir. Sonuç olarak, $\mathbb E^4$ uzayında biharmonik PNMCV yüzey olmadığı gösterilmiştir.\\ Dördüncü bölümde, $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki dönel yüzeyler çalışılmıştır. Hiperbolik, Zamansal ve Parabolik dönel yüzeylerin her biri için bikonzörvatif olma şartları elde edilmiştir.\\ Sonuç bölümünde, elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve bu sonuçları geliştirmeye yönelik bazı öneriler sunulmuştur.
Özet (Çeviri)
In 1964, Sampson and Eells formulated the concept of biharmonic maps as an extension of harmonic maps while investigating the energy functional $E$ between Riemannian manifolds, a subject of both geometric and physical significance. Subsequently, numerous mathematicians have shown interest in the study of biharmonic mappings.\\ By the definition, the bienergy functional between semi-Riemannian manifolds $(M^m,g)$ and $(N^n,\tilde{g})$ is defined by $$E_2(\varphi)=\frac {1}{2} \int_M \|\tau(\varphi)\|^2 v_g$$ for a smooth map $\varphi:M \to N$, where $\tau(\varphi)$ represents the tension field of $\varphi$. $\varphi:M\to N$ is said to be biconservative if it is a critical point of $E_2$. This condition is equivalent to satisfying the Euler-Lagrange equation associated with the bienergy functional $$\tau_2(\varphi)=0,$$ where $\tau_2$ is the bitension field defined by $$\tau_2(\varphi):=\Delta\tau(\varphi)-\mathrm{tr\,} \tilde{R}(d\varphi,\tau(\varphi))d\varphi.$$\\ In the 1980s, B. Y. Chen conducted research on biharmonic submanifolds within Euclidean spaces as a component of B. Y. Chen's initiative to comprehend submanifolds of finite type in semi-Euclidean spaces. B. Y. Chen proposed an other characterization of biharmonic submanifolds in these spaces. Let $x:M\to \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion. By examining normal and tangential parts of $\tau_2(x)$, the following results can be obtained.\\ Let $x: M^m \rightarrow \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion of an $n$-dimensional semi-Riemannian submanifold $M^m$ into the semi-Euclidean space $\mathbb E^n_r$. If $x$ satisfies the fourth-order semi-linear PDE system given by the equations $$\Delta^\perp H+\mathrm{trace}h(A_H(\cdot),\cdot)=0$$ and $$m\mathrm{grad} \Vert H \Vert^2 +4\mathrm{trace} A_{\nabla^\perp_\cdot H}(\cdot)=0,$$ then $M^m$ is biharmonic.\\ On the other hand, if a mapping $\varphi: M \to N$ satisfies the weaker condition $$\langle \tau_2(\varphi), d\varphi \rangle = 0,$$ then it is said to be biconservative. Mainly, if $x: M \to N$ is an isometric immersion, then the previous equation is equivalent to $$\tau_2(x)^\top = 0,$$ where $\tau_2(x)^\top$ represents the tangential part of $\tau_2(x)$. In this case, $M$ is said to be a biconservative submanifold of $N$.\\ In this thesis, we mainly focus on biharmonic and biconservative surfaces in four dimensional Euclidean and Minkowski spaces. The first section provides a concise overview of the historical background and underlying principles concerning biharmonic and biconservative submanifolds, as well as an overview of the research conducted far in this field. In the second section, we give some basic notations and basic facts about submanifolds of semi- Euclidean spaces, the definition of biconservative submanifolds and we introduce the rotational surfaces. In the third section, we give biconservative PNMCV surfaces in $\mathbb E^4$. We obtain local parameterizations of these surfaces and demonstrate that they are not biharmonic. In the fourth section, we give biconservative rotational surfaces in $\mathbb E_1^4$. We study with three different class of rotational surfaces and obtain the condition for each of them to be biconservative. In the concluding section, the derived conclusions are presented, along with recommendations regarding possible future researches.
Benzer Tezler
- Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms
Lorentz uzay formlarının biharmonik ve bikonservatif altmanifoldları
AYKUT KAYHAN
Doktora
İngilizce
2022
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
- Yarı öklid uzaylarında bikonservatif hiperyüzeyler
Biconservative hypersurfaces in semi-euclidean spaces
ECE POLAT HAYIRLI
- Chip load, calibration analysis and dynamics of ball-end milling for free-form surface machining
Küresel uçlu parmak frezeleme ile serbest formlu yüzey işlemenin dinamiği ile talaş genişliği ve kalibrasyon analizi
BURAK ÖZTÜRK
Yüksek Lisans
İngilizce
2005
Makine MühendisliğiKoç ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Y.DOÇ.DR. İSMAİL LAZOĞLU
- Bisikletli fonksiyonel elektriksel stimülasyon ve konservatif rehabilitasyon uygulamasının inmeli hastalarda fonksiyonel durum ve kas özellikleri üzerine etkisinin karşılaştırılması
Comparison of the effect of bicycle functional electrical stimulation and conservative rehabilitation application on functional status and muscle characteristics in stroke patients
ZEYNEP ŞAFAK İBİŞOĞLU
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
2024
Fiziksel Tıp ve RehabilitasyonBolu Abant İzzet Baysal ÜniversitesiFiziksel Tıp ve Rehabilitasyon Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ SERDAR KILINÇ
- 15 Temmuz darbe girişiminin sosyolojik ve teopolitik analizi
Sociological and theopolitical analyze of the July 15th coup attempt
ERCAN ŞEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
Siyasal BilimlerAnkara Hacı Bayram Veli ÜniversitesiSiyaset Bilimi ve Kamu Yönetimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. TUNCAY ÖNDER