Geri Dön

Kürenin foliasyonları

Foliations of sphere

  1. Tez No: 84469
  2. Yazar: CÜNEYT FERAHLAR
  3. Danışmanlar: YRD. DOÇ. DR. İSMAİL KOCAYUSUFOĞLU
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Foliasyonlar, Küreler, Foliations, Spheres
  7. Yıl: 1999
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

ÖZET Foliasyonlar konusundaki çalışmaların tarihi oldukça eskidir. 1940 larda Ehresmann ve Reeb' in ortaya koyduğu sonuçlara kadar yeterince ilgi çeken bir saha olmamıştır. Bu tarihten sonra diferensiyel geometri ve topoloji dal larında önemli bir araştırma sahası olmuştur. Kabaca konuşacak olursak, bir manifold Rn de modellenmiş bir uzaydır, bu anlamda foliasyona sahip bir manifold da R“ de modellenmiş, paralel afin alt uzaylara ayrıştırılmış bir uzaydır. Foliasyonlann varlığı konusundaki çalışmalar 1930 lara dayanır. Heinz Hopf 1931 de kürenin bilinen ilk 1- boyutlu foliasyonlarmı tanımladı [7]: S1 «_» S2”“1 -» CPn_1 = Kompleks Projektif n - 1 uzay, S3 c_* S471'1 -» HP”-1 = Kuaterniyonik Projektif n - 1 uzay, 57 ^ s15-* S8 Özel olarak, S3 3-küresinin 1-boyutlu foliasyonlan büyük çemberlerdir. 1-boyutlu foliasyonlann varlığı konusunda en genel sonucu Hopf vermiştir. Bu yüzden buna Hopf foliasyonlan diyeceğiz [17].“Kompakt bir M manifoldu 1-boyutlu foliasyona sahiptir ancak ve ancak manifoldun Euler karakteristiği, x (M), sıfırdır.”S3 3-küresinin 2-boyutlu (koboyut = 1) foliasyonlarma ilk örnek 1944 de Reeb tarafından tanımlandı. Buna da Reeb Foliasyonu diyeceğiz. Lickorish, Novikov ve Wood tarafından her bir kompakt 3-manifoldun bir Reeb folias- yonuna sahip olduğu ispatlandı.11 E. Thomas yukarıdaki teoremin daha büyük boyutlu küreler için doğru olacağını iddia etti. Bu konudaki en ciddi sonuç William Thurston' a aittir [17].“Bir M manifoldunun 1-koboyutlu foliasyona sahip olması için gerek ve yeter şart x(M) = 0 olmasıdır.”H. Gluck ve W. Ziller 1980 lerde foliasyonların minimum hacme sahip olanları hakkında ortaya yeni bir soru attılar ve S3 3-küresinin minimum hacme sahip 1-boyutlu foliasyonlannın Hopf foliasyonu olduğunu ispatladılar [3]. S3 3-küresinin minimum hacme sahip 2-boyutlu foliasyonlan hakkında I. Kocayusufoğlu lokal olarak Reeb foliasyonlannın minimum hacme sahip olduğunu ispatladı [15]. Hopf foliasyonlan mutlak minimum olmasına rağmen S. Pedersen in çalış ması (1994), Reeb foliasyonunun mutlak minimum olmadığını göstermiştir [22]. 1986 da D. Johnson S5 5-küresinin Hopf foliasyonunun mutlak minimum olamayacağını ispatladı [10]. Bu tezimizde, foliasyonlar hakkında yukanda bahsettiğimiz konulan in celeyeceğiz. Tezin içeriği şöyle özetlenebilir: Bölüm 1 de, foliasyonlarla ilgili temel tanımlar ve örnekler verilip Reeb foliasyonu tanımlandı. Bölüm 2 de, Hopf foliasyonlan ve 1-koboyutlu foliasyonlann varlıklanyla ilgili bilinen temel sonuçlar ifade edildi. Bunun yanında, Hopf dilimlemesinin geometrisi hakkında bilgi verildi ve S3 3-küresinin Reeb foliasyonu tanımlandı. Bölüm 3 te, hacim fonksiyoneli ve optimal vektör alanı tanımlandı. Hopf foliasyonlan ve 1-koboyutlu foliasyonların hacmi için sırasıyla Gluck k. Ziller ve Kocayusufoğlu' nun yaptığı çalışmalar özetlendi ve sonuçlan tartışıldı.Ill Bölüm 4 te, Johnson' in S5 5-küresinin Hopf dilimlemeleri için yaptığı çalışma ayrıntılı olarak ele alındı ve sonuçlan tartışıldı.

Özet (Çeviri)

IV SUMMARY The study of foliations on manifolds has, in fact, a long history in math ematics, though it wasn't even known as a distinct research area until the work of Ehresmann and Reeb at 1940's. Since then, it has become a popular area of research in Differential Geometry and Topology. Roughly speaking, a manifold is a space locally modelled on Rn and a submanifold is a subset locally modelled on an affine subspace. In this spirit, a foliated manifold is a manifold locally modelled on M.n decomposed into parallel affine subspaces. The studies about the existence of the foliations goes back to the 1930's. Heinz Hopf introduced the first known foliations of the spheres, called later as Hopf Fibrations, in 1931 as follows [7]: si ^ S2n-i _^ cpn-i = Complex Projective n - 1 space, S3 <-+ 54n_1 -» HDPn_1 = Quaternionic Projective n - 1 space, 5v ^ S15-»SS In particular, for the three-sphere, S3, the Hopf fibrations are the great circles. The most general results about the existence of one-dimensional fo liations are given by Hopf. That's why we'll call these foliations as Hopf fibrations [17].“A compact manifold M has a one-dimensional foliation iff the Euler characteristic of the manifold is zero.”George Reeb defined a construction of a two-dimensional (or codimension- one) C°°-foliation of the three-sphere, S3, in 1944. We'll call these foliationsas Reeb foliations. It was then shown by Lickorish, and independently by Novikov and Wood that every compact three-manifold admits a Reeb folia tion. E. Thomas conjectured that codimension-one foliation can exist on a ma nifold of zero Euler characteristic. The ultimate result about the existence of codimension-one foliation is due to William Thurston is the following [17]:“There exists a codimension-one foliation on any manifold M iff its Euler characteristic vanishes. ”At 1980's, H. Gluck and W. Ziller asked a new question about finding the one among such foliations which is“visually best organized”in that it minimizes the volume. They have shown that the Hopf foliation on the round three-sphere absolutely minimizes the volume of flows [3]. I. Kocayusufoğlu has shown in 1993 that the Reeb foliation on the round three-sphere, 53, (also codimension-one for this manifold) locally minimizes the volume [15]. S. Pedersen has proved in 1994 that the Reeb foliations, however, do not minimize the volume absolutely although the Hopf foliations do [22]. For the round five-sphere, S5, D. Johnson has shown that the Hopf fibra- tions are not local minima for the volume functional [10]. In this thesis, we are going to deal with the subjects that we have pointed out above. It is organized in the following manner: In Chapter 1, the basic definitions and some examples of foliations and also the construction of Reeb's foliation are given. In Chapter 2, the basic known results for the existence of Hopf foliations and codimension-one foliations are given. This chapter also includes some information about the geometry of Hopf fibrations and a further example for the Reeb foliation of the round three-sphere, S3.VI In Chapter 3, the volume functional is denned. Also the results of Gluck & Ziller and Kocayusufoğlu about the volume minimizing foliations for Hopf foliations and codimensi on-one foliations, respectively, are discussed. In Chapter 4, the result of Johnson on the round five-sphere, S5, is dis cussed.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    17246

    Orta enlemlerdeki iyon kürenin F-bölgesindeki plazmanın elektrik iletkenliği, alanı ve akımının genel incelenmesi

    The General investigation of the electric conductivity, field and current of the plasma in the F-region of the ionosphere at mid-latitudes

    OSMAN ÖZCAN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1991

    Fizik ve Fizik MühendisliğiFırat Üniversitesi

    Fizik Ana Bilim Dalı

    DOÇ.DR. MEHMET AYDOĞDU

  2. Tez No

    67016

    Elektrik özdirenç profil yönteminde elektrot dizilimlerinin karşılaştırılması-yarısonsuz ortamda gömülü iletken küre üzerinde görüntü yöntemi yaklaşımı

    Resistivity profiling data for a perfectly conducting sphere using the method of images algorithm

    SEDAT YILMAZ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    Jeofizik MühendisliğiKaradeniz Teknik Üniversitesi

    Jeofizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. NART COŞKUN

  3. Tez No

    76356

    Bulanık mantık denetleyici ile bir demir kürenin elektromanyetik olarak boşlukta tutulması

    The Elektromagnetic suspension of an iron ball with fuzzy logic control

    ZEKİ ERDEM

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1998

    Eğitim ve ÖğretimGazi Üniversitesi

    Elektrik Eğitimi Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. OSMAN GÜRDAL

  4. Tez No

    33908

    High frequency diffraction by a metallic cap located on a dielectric sphere

    Başlık çevirisi yok

    ARSLAN YAZICI

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    1994

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiÇukurova Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. A. HAMİT SERBEST

  5. Tez No

    45633

    The Applications of lie algebra to the spatial motions

    Uzaysal harekete lie cebrinin uygulamaları

    BEDİA AKYAR

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    1995

    MatematikDokuz Eylül Üniversitesi

    PROF.DR. ÖMER KÖSE

Geri Dön