Nonlineer elastik bir tabakada SH dalgalarının etkileşimi
The interacton of SH waves in a nonlinear elastic plate
- Tez No: 310623
- Danışmanlar: YRD. DOÇ. DR. SEMRA AHMETOLAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Dalga denklemleri, Dalga yayılması, Elastik tabaka, Kuple, Schrödinger denklemi, Wave equations, Wave propagation, Elastic layer, Coupled, Schrödinger equation
- Yıl: 2012
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu çalışmada, düzgün kalınlıklı hiperelastik malzemeden oluşan bir tabaka içerisinde aynı yönde ilerleyen SH dalgalarının etkileşimi problemi ele alınmıştır. Serbest yüzeylerde gerilmelerin olmadığı kabul edilmiştir. Dalgaların etkileşimi problemi bir asimptotik pertürbasyon metodu olan değişik ölçekler metodu kullanılarak incelenmiştir. Asimptotik analiz neticesinde aynı yönde ilerleyen ve birbirleri ile etkileşen dalgalara ait birinci mertebe yavaş değişen genlik fonksiyonlarının değişimini asimptotik olarak karakterize eden kuple nonlineer Schrödinger (KNLS) denklemleri elde edilmiştir. Sonrasında KNLS denklemlerinin çözümlerinin kararsızlıkları ve solitary dalga çözümlerinin varlığı incelenmiştir. Çalışmamız dört bölümden oluşmaktadır:Giriş bölümünde, elastik dalgalarının yayılmasına yönelik gelişimin tarihi kısaca verilmiştir. İkinci kısımda ise ilk olarak lineer malzemeden oluşan bir tabakada aynı yönde ilerleyen SH dalgalarının yayılımı problemi incelenmiş ve lineer dalgalara ait dispersiyon bağıntısı türetilmiştir. Bilindiği gibi cT ortamda yayılan lineer dalgaların yayılma hızını, c ise SH dalgalarının faz hızını göstermek üzere, tabakada bu tip dalgaların yayılabilmesi için cT < c eşitsizliğinin gerçeklenmesi gerekmektedir. Bu koşul altında, daha sonra nonlineer malzemeden oluşan bir elastik tabakada aynı yönde ilerleyen iki SH dalgasının etkileşimi problemi ele alınmış ve bu problem bir asimptotik pertürbasyon metodu olan değişik ölçekler metodu yardımıyla incelenmiştir. Etkileşen dalgalara ilişkin birinci mertebe yavaş değişen genlik fonksiyonlarını asimptotik olarak karakterize eden nonlineer denklem sistemi, Kuple Nonlineer Schrödinger (KNLS) denklem sistemi, türetilmiştir.Son yıllarda, KNLS denklem sistemi üzerine, denklemlerin solitary dalga ve periyodik çözümleri ve bunlara ilişkin lineer kararlılık analizinin incelendiği birçok çalışma bulmak mümkündür. Solitary zarf çözümlerinin bulunmasında, KNLS sistemini oluşturan denklemlerin lineer ve nonlineer katsayılarının işaretleri büyük önem taşımaktadır. Bölüm 3.3' de bu çalışmaların bazılarından bahsedilerek, solitary dalga çözümlerinin varlığı ve ortamı oluşturan malzemenin nonlineerliğinin aynı yönde ilerleyen ve eşit grup hızlarına sahip dalgaların yayılımı üzerindeki etkisi incelenmiştir.Dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.
Özet (Çeviri)
In this work, the nonlinear interaction of two co-directional shear horizontal (SH) waves in a homogeneous, isotropic elastic plate of uniform thickness is considered. The plate of uniform thickness occupies the region,(1)in the reference frame (X,Y,Z) and it is assumed that the free boundaries Y=±h are free of traction. It is supposed that SH waves propagate along the positive X axis and the displacement of a particle in Z direction. In this case, the wave motionx=X, y=Y, z=Z+u(X,Y,t) (2)can be defined in this form. u is the displacement function of X,Y and t, the time. The governing equation of motion which the terms are not higher than third degree and the boundary conditions can be written as follows;in P(3)on (4)where. (5)In the equation (3), is the propagation velocity of linear waves in the plate. Here, µ is the linear shear modulus of the layer, and ? is the density of the layer. is nonlinear material constant of the constituent material. In the plate, when the material is hardening, then material is softening.To investigate the interaction of two co-directional SH waves which the amplitudes are assumed to be small but finite, the method of multiple scales is used. For this method we introduce the new independent variables,, and ,(i=0,1,2) (6)where {x1,x2,t1,t2} are slowly variables to describe slow variations of the amplitudes whereas {x0,y,t0} characterize the fast variables, and is a small parameter which measures the degree of nonlinearity. Now u is considered to be a function of these new variables and it is expanded in power of ? to the asymptotic series,(7)and we can arrange a transformation between old and new variables as follows:(8)Then writing the equation of motion in (3) and boundary conditions in (4) with considering the terms in (8) by applying (6) and using asymptotic expansion (7) with collecting the terms of some powers in ?, we find a hieararchy of problems which can be determined for un. First three perturbation problems can be given as following:in P (9)on (10)in P (11)on (12)in P (13)on (14)where the linear operators and and the nonlinear operators and are given as follows:,(15)These problems are linear at each step and the first order problem is simply the classical linear wave problem. In the analysis, for the propagation of SH waves, the phase velocity of waves should satisfy the inequalities,cT<cj (j=a,b) (16)In this work, since we have examined the propagation of the co-directional SH waves, which centered around the wave numbers ka and kb and the frequencies ?a and ?b, it is supposed that the harmonic resonance does not exist for the waves. Therefore, we assume kb?Mka and ?b?M?a where is a positive integer. With these assumptions, the solution of first order problem is found as:(17)where and R1j,R2j j=a,b are constants . c.c. is the symbol for complex conjugate of preceding terms and is complex function of the slow variables which represents the first order slowly varying amplitudes of the wave interaction. In (17) and henceforth a subscript value j=a indicates the first and j=b the second wave.Here the aim is to determine the first order amplitude functions and to complete the first order solutions of the nonlinear problem, so that it has to be examined in the higher order perturbation problems. With the compatibility condition of second order problem yields that(18)remains constant in a frame of reference moving with its group velocity . The compatibility conditions in the third order problem, it is obtained the following couples equations for amplitudes, when the group velocities of the waves are equal:(19)where , , . The coefficients and are the linear dispersion coefficients, and are the nonlinear constants which describe the self modulation of wave packets, and and are the nonlinear coupling constants of cross modulation between two wave packets. It is noted that if A_b=0, the CNLS equations in (19) are reduced to a NLS equation which characterizes asymptotically the self modulation of SH waves in a plate. CNLS equations has been obtained in the similar wave interaction problems of various branches of physics and engineering. Thus, they have great interest to find exact solutions for special values of coefficients of the equations. In the present work, we investigate the instabilities of the interacting waves and observe the effect of the nonlinearity of the constituent materials on the existence of solitary waves.
Benzer Tezler
- Üniform kalınlıklı bir tabaka ile ikiye ayrılmış sonsuz bir elastik ortamda nonlineer enine kayma (SH) dalgalarının yayılması
Propagation of nonlinear shear horizontal (SH) waves in an elastic medium divided by a layer of uniform thickness
HAMZA KURT
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEVLÜT TEYMÜR
- One dimensional nonlinear seismic response analysis of horizontally layered soil deposits
Başlık çevirisi yok
M.EREN UCKAN
