Geri Dön

Genelleştirme Hilbert dönüşümleri

Generalized Hilbert transforms

  1. Tez No: 166625
  2. Yazar: ÖZGÜR MARTİN
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. MAHİR HASANOV
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2005
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

GENELLEŞTİRİLMİŞ HİLBERT DÖNÜŞÜMLERİ ÖZET Sözde diferansiyel operatörler ve Fourier integral operatörler kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde, diferansiyel operatörlerin tersinin veya farklı genişlemelerinin bulunmasında ortaya çıkmaktadır. Sözde diferalsiyel operatörler genelde Au= f e^o(x,0û(0de Fourier integral opertörleri ise Fu= [ ei$Ma(x^)â(()^ şeklinde tanımlanmaktadır ve burada a(x, £) sembolü ve 3>(:r, £) faz fonksiyonu ek koşulları sağlamaktadır ([1] - [4]). Bu operatörlerin farklı uzaylarda tanımlanması, sürekli genişlemesi, kompaktlık koşulları, spektral yapılarının irdelenmesi gibi sorular temel sorulardır. Örneğin a(x,Ç) ? STs, 0 ^ p,6 ^ 1 olmak üzere A operatörünü Lp ve Hs Sobolev uzaylarına sürekli genişlemesinin bulunması konusunda pek çok araştırmalar yapılmıştır ([5] - [10]). [11] 'de S < p ise bütün A G L°pS operatörlerinin L2(Rn)'den L2(Rn)'e sınırlı olduğu ispatlamıştır. Eğer (2.5.1) eşitsizliği K herhangi bir kompakt küme olmak üzere x e K C Rn için bir A*,/3,ır sabiti için sağlanıyorsa Hörmander [5] her A e L°5 operatörünün L^>TOp(Rn)'den L^R^'e sınırlı bir operatör olacak şekilde genişletilebileceğini ispatlamıştır. Diğer yandan Kumano-Go [9] p < 1 olmak üzere L°p x sınıfından bir L-ı süreksiz operatöre örnek vermiştir. Calderon ve Vaillancourt [12] ise 0 < p < 1 için LQ sınıfından operatörlerin L2(Rn)'denL2(Mn)'e sürekli lineer tasvirler olduğunu ispatlamışlardır. Bu sonuç özellikle P = \ için lineer kısmi diferansiyel denklemlerde ve özellikle de subeliptik operatörlerin incelenmesinde önemli bir rol oynamıştır. STs Hörmander sınıfları C°°'un bir alt sınıfıdır. Fakat uygulamada C°° sınıfında bulunmayan ve hatta sürekli olmayan a (x,Ç) sembolleri ile karşılaşmaktayız. [10] 'de sembolü R2 x R2 uzayının konik bir altkümesinin karakteristik fonksiyonu olan bir sınıf sözde diferansiyel operatörü incelemişler ve c(x) tanım kümesi D C R2 olan reel değerli bir fonksiyon ve T = {(x, f) = (xiı %2, fi, £2) I x G D, £2 > c(x)Çı} kümesi R2 X R2 uzayında bir koni olmak üzere L(f)(x) = Je-2T-t*r(x,0f(!;)dÇ operatörleri ile ilgilenmişlerdir. [10] 'de D tanım kümesini ve c[x) fonksiyonunu seçerek 1 < p < 2 için LP(R2) uzayında sınırsız (4.1.1) şeklinde bir operatör inşa etmişlerdir. T kümesi R2 uzayının konik bir altkümesi olduğunda L'nin sınırlılığı Carleson-Hunt teoreminin bir sonucudur ([10]). Bazı ek koşullar altında w(x) = (wı(a;), W2(x)) 6 R2 ve r°° dt H(f)(x)=pvJ J(x + tw(x))j, olmak üzere L operatörünü Hf)(x) = ^H(f(x))+lm, şeklinde yazarak L operatörünün sınırsızlığım H operatörünün sınırsızlığını ispatlayarak göstermişlerdir. H(f) operatörü tam olarak Hilbert dönüşümü değildir ama Hilbert dönüşümünün bir genelleştirilmesi olarak düşünülebilir. Gerçekten w(x) G R1 ve w(x) = 1 alırsak H(f) Hilbert dönüşümü olur. Benzer sınıftan operatörler aynı zamanda [9] ve [8] 'de incelenmiştir. Bu makalelerde sözde diferansiyel ve Fourier integral operatörler sinifinda sınırsızlık kriterleri vermek için /oo k(z)f(P(x)z~a(x))dz, ¦00 operatörü kulanılmıştır. Bu benzerlik ise bizi genelleştirilmiş Hilbert dönüşümü olarak adlandırdığımız A(f)(x) = f k(z) /((/?(*) o z) + a{x)) dz Vİoperatörünü tanımlamaya yönlendirdi. Burada,(x)), z e R\ p(z) e R71 *M 0 ? _ I (jSl(^)zi,... A(x)Zn), *,/?(*) ? Rn şeklindedir. Tezde ele aldığımız esas soru Genelleştirilmiş Hilbert dönüşümlerinin hangi koşullar altında L^ uzayına sınırlı genişlemesinin bulunup bulunmaması ile ilgilidir. Öte yandan sözde diferansiyel operatörler ve Fourier integral operatörleri Fourier dönüşümlerinin doğal genişlemeleridir. Örneğin Fourier dönüşümü a(x,Ç) = 1 koşulunu sağlayan sözde diferansiyel operatör ve a(x,Ç) = 1, $(£,£) = ix.Ç koşullarını sağlayan Fourier integral operatörüdür. Bundan dolayı Tezin Giriş bölümünde Fourier dönüşümü incelenmiştir. 2. bölümde sözde diferansiyel operatörlerin temel özellikleri araştırılmış ve ele aldığımız problemlerle doğrudan bağlantılı olduğundan dolayı 3. bölümde Hilbert dönüşümlerine ve Cauchy integral operatörlerine ayrıca yer verilmiştir. Son olarak tezde bulduğumuz sonuçlar 4. bölümde verilmiştir. vıı

Özet (Çeviri)

GENERALIZED HILBERT TRANSFORMS SUMMARY Pseudo-differential operators and Fourier integral operators arise from the solutions of differential equations and also from generalizations and inverses of differential operators. Pseudo-differential operators and Fourier integral operators are generally defined as Au= f e**a{x,Ç)û{0<%, Fu= f e**^a(x,Oû(0«- respectively. Here the symbol a(x,Ç) and the phase function $(x, £) satisfy some additional conditions ([1] - [4]). The main questions are defining these operators on several spaces, studying for continuous extensions, criteria for compactness and their spectral structure. For example many researches were done in the topic of continuous extension for the operator A to the Lp and H" Sobolev spaces when a(x,Ç) E STs, 0^p,6^1([5}-[10}). It was proved in [11] that all A G LP s are continuous from I/2(Mn) to L20^n) if 6 < p. If the estimates (2.5.1) are satisfied for x e K C Kn with Aa,p,K-, which depend on K for any compact set K C W1, then Hörmander [5] proved that all A e L°pS can be extended to be a bounded operator from L%mp(Rn) to l4°c(Kn). On the other hand, Kumano-Go [9] has given an example of an operator belonging to LPpl for every p < 1, which is not L2 continuous. Calderon and Vaillancourt [12] proved that every operator L?pp with 0 < p < 1 defines a continuous linear map L2 - > L^. this result, particularly for p = |, viiihas played an important role in linear partial differential equations, especially in the study of subelliptic operators. S%s Hörmander classes are subsets of C°°. But in application we see symbols a(x, £) which does not belong to C°° and are not continuous. In [10] J. Alvarez and R. Duran considered a class of pseudo-differential operators whose symbol is a characteristic function of a conic subset of R2 x R2. Namely, they studied operators in the form L(/)(x) = yc-**-«*r(»,0/(0de. where T = {(x, £) = (xi, x2, £1, ^2) | ^ e D, £2 > c(a;)Ç1} is a cone in R2 x R2 and c(x) is a real valued function defined on a domain D C R2. By choosing a domain D and a function c(x) in [10] it was constructed an unbounded operator of the form (4.1.1) in ^(R2), 1 < p < 2. Note that when T is a conic subset of R2 then the boundedness of L is a consequence of the Carleson-Hunt's theorem (see [10]). A representation of the operator L under some additional conditions in the form where LU){x) = ^KH{f{x)) + \f{x), P°° fit H(f)(x)=pvJ f{x + tw(x))2 and w(x) = (101(2), w2(x)) G R2 constitutes the main idea of the paper [10]. The operator H(f) is not exactly a Hubert transform, but it can be considered as a generalization of the Hubert transform. Indeed if w(x) ? R1 and w(x) = 1 then H{f) is the Hubert transform. A similar class of operators was considered in [9] and [8]. In these papers boundedness criterion for pseudodifferential and Fourier integral operators are investigated by using the operators /CO k(z)f(p(x)z-a(x))dz,.00 where k(z) e S, k(z) denotes the Fourier transform of fc(z), a(x) and (3(x) are real-valued functions. The similarities in the definitions of these operators, mentioned above motivated us to define the following operator A(f)(x) = f k(z) /((/?(*) o z) + a{x)) dz, JRn ixwhich we called generalized Hilbert transform where arrw-l (A (s)*i,..-,&(*)<), z,p(x)eRn P[x) oz-\ (zfrix),..., z(3n(x)), z e R\ P(x) e R» The main problem studied in this thesis is whether the generalized Hilbert transforms have a bounded extension to the space L2 or not. Pseudo-differential operators and Fourier integral operators are the natural extensions of the Fourier transforms. Fourier transform is the pseudo-differential operator with the symbol a(x, £) = 1 and the Fourier integral operator with a(x, 0 = 1 and $(a;, £) = ix.C. This is why we studied the Fourier transform in the first chapter. In the 2nd chapter we studied the main properties of pseudo-differential operators and taking into account a connection with the problems in the thesis we considered Hilbert transforms and Cauchy singular integral operators in the 3rd chapter. Finally in chapter 4 we gave our results.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    46922

    Sayısal kartağrafyada geometrik genelleştirme

    Başlık çevirisi yok

    NİMET İŞCİMEN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1995

    Jeodezi ve FotogrametriYıldız Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. MEHMET SELÇUK

  2. Tez No

    79185

    1:25000 ölçekli haritalardan bilgisayar destekli genelleştirme ile 1:50000 ölçekli harita üretimi

    Production 1:50000scale map from 1:25000 scale maps via computer aided generalization

    EMİN BANK

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1998

    Jeodezi ve FotogrametriYıldız Teknik Üniversitesi

    Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MEHMET SELÇUK

  3. Tez No

    106125

    1:25 000 ölçekli haritalardan genelleştirme ile 1:50 000 ölçekli harita üretimi

    1:50 000 scaled map production from 1: 25 000 scaled maps by generalization

    HADİ BARUT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2001

    Jeodezi ve FotogrametriSelçuk Üniversitesi

    Jeodezi ve Fotogrametri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MEHMET YERCİ

  4. Tez No

    121504

    Kross modüllerin 3. boyuta genelleştirilmesi (yarı 3-kross modül)

    The Generalization to 3rd dimension of crossed modules (quasi 3-crossed modules)

    BERRİN MUTLU

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2002

    MatematikCelal Bayar Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. ALİ MUTLU

  5. Tez No

    129153

    Generalization of predicates with string arguments

    Karakter dizisi argümanlı önergelerin genelleştirilmesi

    GÖKER CANITEZER

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2002

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİhsan Doğramacı Bilkent Üniversitesi

    Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. H. ALTAY GÜVENİR

    YRD. DOÇ. DR. İLYAS ÇİÇEKLİ

Geri Dön