Süreksiz katsayılı sturm-liouville ikinci dereceden demeti için ters saçılma problemleri
Inverse scattering problems for the quadratic pencil of the sturm-liouville equation with the discontinuous coefficient
- Tez No: 972375
- Danışmanlar: PROF. DR. ANAR ADİLOĞLU
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Süleyman Demirel Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Potansiyeli spektral parametreye polinomsal bağlı Schrödinger denklemi yeterince incelenmemiş ve incelendiğinde de türlü zorlukları ile öne çıkan problemler olarak kalmaya devam ediyor. Genelle¸stirilmiş Schrödinger denklemi veya Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti potansiyeli spektral parametreye doğrusal bağlı olan Sturm-Liouville denklemidir. Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti do˘grusal olmayan Schrödinger denklemi, Klein-Gordon denklemi ve Korteweg-de Vries denklemi gibi doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler için Cauchy probleminin çözülmesinde kullanılır. Bir başka deyişle ters saçılma metodu adını alan bir metot uygulanarak yukarıda ismi geçen doğrusal olmayan diferansiyel denklemleri için Cauchy probleminin çözülmesi problemi Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti için ters saçılma probleminin çözülmesine getirilmektedir. Bu yüzden de Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti için ve aynı zamanda potansiyeli spektral parametreye polinomsal ba˘glı diğer Schrödinger türden denklemler için tüm eksende ters saçılma probleminin incelenmesi önem taşımaktadır. Son yıllarda yapılan araştırmalara bakıldığında uygulamalarda da sık sık karşılaşıldığı için parçalı sabit katsayılara sahip diferansiyel denklemlerin incelenmesi ön plandadır. Parçalı sabit katsayılı veya süreksiz katsayılı diferansiyel denklemler incelendiğinde bu denklemlerinin çözümlerinde klasik durumdan farklı yapısal etkenler ortaya çıkmaktadır ki bu da ortaya konan problemin incelenmesinde çeşitli zorluklara sebebiyet vermektedir. Bu açıdan bakıldığında literatürde, süreksiz katsayılı Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti için tüm eksende düz ve ters saçılma problemlerinin tam incelenmesi bulunmamaktadır. Bu tez cali¸smasında parçalı sabit katsayıya sahip bir boyutlu genelleşmiş Schrödinger denklemi icin lokal integrallenebilir ve sınırlı potansiyel fonksiyinlar sınfında düz ve ters saçılma problemleri ele alınmaktadır. Öncelikle parçalı sabit katsayıya sahip birboyutlu genelleşmiş Schrödinger denklemini için sonsuzlukta bir koşulu sağlayan ve Jost çözümleri adını alan özel çözümlerin varlığı problemi ele alınarak bu çözümlerin Fourier integrali ile ifade edilen özel çözümler olduğu kanıtlanmıştır. Bu özel çözümlerin spesifik ifadesi kullanılarak Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demetinin spektral özellikleri incelenmiş ve denklemin potansiyel fonksiyonları ile Jost çözümlerinin integral gösteriminin süreksiz çekirdek fonksiyonu arasındaki ilişki bulunmuştur. Ters problemin çözümünde önemli role sahip olan Fadeev-Marchenko tipi yeni integral denklemler elde edilmi¸s ve ayrık spektrumun bulunmadı˘gı durumda bu integral denklemin ilgili uzaylarda birebir çözülebildiyi kanıtlanmi¸sdır. Fadeev-Marchenko tipi yeni integral denklemler ve potansiyel fonksiyonlarla çekirdek fonksiyonları arasındaki ilişkiden yola çıkarak potansiyel fonksiyonların birebir bulunması algoritması verilmiştir.
Özet (Çeviri)
he Schrödinger equation, whose potential is polynomially dependent on the spectral parameter, has not been sufficiently studied and when studied, it continues to remain as a problem that stands out with its various difficulties. The second-order pencil of the generalized Schrödinger equation or Sturm-Liouville equation is the Sturm-Liouville equation, whose potential is linearly dependent on the spectral parameter. The second-order pencil of the Sturm-Liouville equation is used to solve the Cauchy problem for nonlinear partial differential equations such as the nonlinear Schrödinger equation, the Klein-Gordon equation and the Korteweg-de Vries equation. In other words, by applying a method called the inverse scattering method, the problem of solving the Cauchy problem for the above-mentioned nonlinear differential equations is brought to the solution of the inverse scattering problem for the second-order pencil of the Sturm-Liouville equation. Therefore, it is important to examine the inverse scattering problem on the entire axis for the second-order pencil of the Sturm-Liouville equation and also for other Schrödinger type equations whose potential is polynomially dependent on the spectral parameter. When looking at the researches carried out in recent years, since it is frequently encountered in applications, the examination of differential equations with partial constant coefficients is in the foreground. When partial constant coefficient or discontinuous coefficient differential equations are examined, structural factors different from the classical situation emerge in the solutions of these equations, which causes various difficulties in examining the presented problem. From this point of view, there is no complete examination of the direct and inverse scattering problems on the entire axis for the second-order pencil of the Sturm-Liouville equation with discontinuous coefficients in the literature. In this thesis, direct and inverse scattering problems in the class of locally integrable and bounded potential functions for the one-dimensional generalized Schrödinger equation with piecewise constant coefficients are considered. First of all, the problem of existence of special solutions called Jost solutions satisfying a condition at infinity for the one-dimensional generalized Schrödinger equation with piecewise constant coefficients is addressed and it is proven that these solutions are special solutions expressed by the Fourier type integral. Using the specific expression of these special solutions, the spectral properties of the second-order pencil of the Sturm-Liouville equation are investigated and the relationship between the potential functions of the equation and the discontinuous kernel function of the integral representation of the Jost solutions is found. New integral equations of the Fadeev-Marchenko type, which have an important role in the solution of the inverse problem, are obtained and it is proven that this integral equation can be solved one-to-one in the relevant spaces in the absence of discrete spectrum. The algorithm for finding potential functions one-to-one is given, based on the new integral equations of the Fadeev-Marchenko type and the relationship between potential functions and kernel functions.
Benzer Tezler
- Parçalı sabit katsayılı sturm-liouville ikinci dereceden demeti için tüm eksende düz ve ters saçılma problemi
Direct and inverse scattering problem on the entire line for the quadratic pencil of the sturm-liouville equation with a piecewise constant coefficient
DÖNDÜ NURTEN CÜCEN
Doktora
Türkçe
2023
MatematikSüleyman Demirel ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ANAR ADİLOĞLU
- Süreksizlik noktası ve geçiş şartları bulunduran Sturm-Liouville probleminin bazı spektral özellikleri
Some spectral properties of the Sturm-Liouville problem with discontinuity point and transition conditions
MURAT KÜÇÜK
Yüksek Lisans
Türkçe
2025
MatematikAmasya ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA KANDEMİR
- Süreksiz katsayılı sturm-liouville operatörü için düz ve ters spektral problemler
Direct and inverse spectral problems for the sturm-liouville operator with discontinuous coefficient
AHMET SİNAN ÖZKAN
- Süreksiz katsayılı sturm-lıouvılle operatörleriiçin ters nodal problemler
Inverse nodal problems for sturm-liouville operators with discontinuous coefficients
MAHMUT ÇAKMAK
Yüksek Lisans
Türkçe
2025
MatematikSivas Cumhuriyet ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SEVİM DURAK
- Sınır koşulları spektral parametreye bağlı süreksiz katsayılı Sturm-Liouville operatörleri için ters problemler
Depending on the spectral parameter boundary contitions discontinuous coefficients Sturm-Liouville operators for inverse problems
SEVİM DURAK