Learning continuous group symmetries for simplifying and solving differential equations
Sürekli simetri gruplarının diferansiyel denklemlerin çözümü ve sadeleştirilmesi amacıyla öğrenilmesi
- Tez No: 940400
- Danışmanlar: DOÇ. DR. RAMAZAN GÖKBERK CİNBİŞ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol, Computer Engineering and Computer Science and Control
- Anahtar Kelimeler: Adi diferensiyel denklemler, Denklik, Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler, Makine öğrenmesi, Simetri, Ordinary differential equations, Equivalence, Nonlinear differential equations, Machine learning, Symmetry
- Yıl: 2025
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Bilgisayar Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Simetri grupları, diferansiyel denklemlerle tanımlanan matematiksel ve fiziksel sistemlerin davranışını anlamada temel bir rol oynar. Bu çalışma, Lie nokta dönüşümleri bağlamında önem arz eden sürekli grup simetrilerini öğrenmek için yeni bir çerçeve sunmaktadır. Önerilen yaklaşımın temel fikri, simetri grubu G'yi, Lie cebirini oluşturan simetri üreteçlerinin ilgili jet uzayı üzerindeki sonsuz küçük etkisini öğrenerek inşa etmektir. Bu yaklaşımın bir diğer kritik bileşeni, öğrenilen Lie cebirinden herhangi bir g grup elemanını üretmeyi sağlayan üstel haritanın (exp) oluşturulmasıdır; bu harita, terslenebilir artık ağlar kullanılarak gerçeklenmektedir. Geleneksel olarak sembolik kütüphanelerde uygulanan cebirsel veya analitik yöntemlerin aksine, önerilen yinelemeli yöntem, verilen bir dinamik sistemin giriş verilerinden doğrudan öğrenme yoluyla, ilgili jet uzayı üzerindeki sonsuz küçük simetri üreteçlerinin bir temsilini bulmaktadır. Ayrıca, öngörülen involütivite koşullarımız, dinamik sistemi tanımlayan kontak sisteminin involütivitesinden ayrışmaktadır. Deneylerimizde, öğrenilen vektör alanlarının Lie cebirini oluşturduğunu doğruluyor ve eğitim alanının ötesindeki çözüm alanlarına genelleştirilebildiklerini gösteriyoruz. Özellikle, dalga denklemi için bir kanonik vektör alanının öğrenilen cebirin doğrusal uzayında bulunduğunu ortaya koyuyoruz. Önerilen yöntem, diferansiyel denklem sistemlerinin çözülme sürecini sadeleştirmek için ilgili G-değişmez eş-çerçevesini keşfetmeye olanak tanıyabilir ve sinir ağlarıyla çözülebilir sistemlerin analizine katkı sağlayabilir. Ayrıca, bu çalışma, sürekli simetri kavramını analitik matematiksel nesneler bağlamında makine öğrenmesi topluluğuna tanıtmayı amaçlamaktadır.
Özet (Çeviri)
Symmetry groups play a fundamental role in understanding the behavior of mathematical and physical systems governed by differential equations. This work presents a novel framework for learning continuous, non-trivial group symmetries in the context of Lie point transformations. The core idea of the proposed approach is to construct the symmetry group G by learning its infinitesimal action on a relevant jet space, given by the symmetry generators spanning its Lie algebra. Another critical component of this approach is the construction of the exponential map exp, which allows for the generation of any group element g from the learned Lie algebra and is implemented using invertible residual networks. In contrast to previous algebraic or analytical methods typically implemented in symbolic libraries, our iterative approach discovers the representation of infinitesimal symmetries on a given jet space through learning directly from input data of a given dynamic system. Moreover, our involutivity conditions are decoupled from the involutivity of the contact system describing the dynamic system. In our experiments, we validate the learned vector fields forming the Lie algebra by demonstrating their ability to generalize to multiple solution domains beyond the training domain. Notably, we show that a canonical vector field for the wave equation lies within the span of the learned algebra. Our framework has potential applications in discovering G-invariant coframes to simplify differential equation systems that are solvable by neural architectures. Additionally, this study aims to introduce the concept of continuous symmetry for analytic mathematical objects to the machine learning community.
Benzer Tezler
- Ensemble and deep learning on astronomical data with different modalities
Astronomik veride farklı kiplerle topluluk öğrenmesi ve derin öğrenme
FATMA KUZEY EDEŞ HUYAL
Doktora
İngilizce
2023
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EMRE ONUR KAHYA
PROF. DR. ZEHRA ÇATALTEPE
- Patlatma kaynaklı yer sarsıntısının farklı regresyon modelleri ve yapay sinir ağı ile kestirimi
Blast induced ground vibration forecasting using different regression models and artificial neural network
TAYLAN ÖZKAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Maden Mühendisliği ve Madencilikİstanbul Teknik ÜniversitesiMaden Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. TÜRKER HÜDAVERDİ
- A new perspective into team teaching as a continuous professional development model for English teachers
İngilizce öğretmenleri için bir sürekli mesleki gelişim modeli olarak takım öğretimine yeni bir bakış açısı
ÖZLEM CANARAN
Doktora
İngilizce
2017
Eğitim ve ÖğretimHacettepe ÜniversitesiYabancı Diller Eğitimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İSMAİL HAKKI MİRİCİ
- The Role of continuous assessment in improving EFL student learning
Sürekli sınamanın öğrencilerin yabancı dil öğrenimini geliştirmedeki rolü
NECMİ AKŞİT
Yüksek Lisans
İngilizce
1992
İngiliz Dili ve EdebiyatıOrta Doğu Teknik ÜniversitesiYRD. DOÇ. DR. ÜLKER OSAM(VANCI)
- Öğrenen organizasyon uygulama takımları ve bir şirketler grubundaki uygulaması
Learning organisation practice teams and practice in a corporate group
AYŞE BERRAK HELVACIOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
İşletmeNecmettin Erbakan Üniversitesiİşletme Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MUSTAFA ATİLLA ARICIOĞLU