Efficient finite element computation of unsteady incompressible viscous flows using pseudo second-order velocity interpolation
Zamana bağlı sıkıştırılamaz viskoz akışların sanki-ikinci derece hız interpolasyonu kullanan sonlu elemanlar yöntemi ile hesabı
- Tez No: 75035
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ALİM RÜSTEM ASLAN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Uçak Mühendisliği, Aeronautical Engineering
- Anahtar Kelimeler: Sonlu elemanlar yöntemi, Viskoz akış, Finite element method, Viscous flow
- Yıl: 1998
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Uçak Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Havacılık Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
ZAMANA BAĞLI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ AKIŞLARIN SANKİ İKİNCİ DERECE HIZ INTERPOLASYONU KULLANAN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE HESABI ÖZET Sıkıştırılamaz akışların modellenmesi genel endüstrinin ilgi alanına giren önemli bir konudur. Uçak endüstrisindeki çeşitli uygulamaların yanısıra, çoğu endüstriyel süreç, cihaz ve çevre problemleri, viskoz akışkanların sıkıştırılamaz akışlarını içerir. Havacılıkta, yüksek taşıma aygıtlarının, düşük hızlı ve uzaktan kuman dalı uçakların, paraşütlerin vs. tasarımında sıkıştırılamaz akış alanlarının hassas bir şekilde tayininden yararlanılır. Kimyasal reaktör ve karıştırıcılardaki akışlar, nükleer reaktörlerde soğutma sıvılarının akışı, otomobiller etrafında, motor ve yolcu bölmelerindeki akışlar, sıvı metalin döküm kalıbı içerisindeki akışı, viskoz sıkıştırılamaz akış analizinin ürün veya süreci iyileştirmede katkıda bulunduğu alanlardan birkaçıdır. Bu problemlere analitik, deneysel veya sayısal yöntemlerle yaklaşılabilir. Prob lemi yöneten denklemlerde karşılaşılan matematiksel sorunlar nedeniyle anali tik yöntemler sadece fiziksel veya geometrik olarak basit olayların incelenmesine izin verir. Deneysel yöntemler ise daha hassas ve gerçekçi sonuçlar getirse de, deney tesisatının kurulması ve işletilmesi ile ilişkili yüksek maliyetler nedeniyle, dizayn sürecinin her aşamasında yeteri kadar sık kullanılamazlar. Günümüzde akış içeren cihazlar giderek daha verimli bir hale gelirken, sayısal yöntemler de, ileri analizlerde, deneysel yöntemlerin ekonomik ve hızlı bir destekleyicisi haline gelmişlerdir. Bununla beraber, türbülans veya karmaşık geometrilerde inceleme gibi, akış alanlarının daha hassas tayinini gerektiren konular, artan hesaplama gücü gerektirmektedir. Bu talep, günümüzün sınırlı hesaplama gücü gözönünde bulundurulduğunda, sayısal algoritma geliştirilmesi konusunu, verimli ve ekonomik analizler gerçekleştirebilmek için tek seçenek olarak ortaya koymak tadır. Vizkoz bir akışkanın sıkıştırılamaz akışını yöneten denklemler, kütle ve yüzey kuvvetleri altındaki bir akışkan parçacığına Newton'un ikinci yasasının uygulan masıyla elde edilir. Gerilme ile şekil değiştirme hızı arasındaki ilişkiyi belirleyen Stokes hipotezinin bünye denklemi olarak alınması ile Navier-Stokes denklemle rine ulaşılır. Yoğunluğun değişmediği kabulü yapılarak basitleştirilmiş sıkıştırıla-maz Navier-Stokes denklemleri elde edilir. Bu denklemler, akım fonksiyonu- vortisite veya hız-vortisite gibi türetilmiş değişkenler cinsinden de kullanılabil mekle beraber, üç boyutlu problemlerde sınır şartlarının belirlenmesindeki zor luklardan kaçınmak amacıyla, hız ve basınç gibi birincil değişkenler cinsinden ifade edilmeleri daha uygundur. Bu çalışmada incelenen akışları yöneten momen tumun korunumu ve süreklilik denklemleri boyutsuz halde şu şekilde yazılır: dut dui _ dp 1 d2Uj.. _.. g = 0 i = l,2,3 (2) Burada Uj hız bileşenlerini, x. Kartezyen koordinatı, p basıncı, t zamanı ve boyut suz parametre Re Reynolds sayışım göstermektedir. Bu denklemler, Sonlu Fark lar, Sonlu Hacimler veya Sonlu Elemanlar yöntemleriyle sayısal olarak analiz edilebilmekle beraber, Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY), karmaşık geometrilerde çözümü mümkün kılması ve tutarlı matematiksel temelleri ile, farklı problem ler için hassasiyet/hesaplama maliyeti dengesinin daha kolay ayarlanabilmesini sağlayan alternatifler sunabilmesi nedeniyle tercih edilmektedir. Bu çalışmanın amacı daimi olmayan sıkıştırılmaz viskoz akışları yöneten yukarı daki denklemlerin çözümünde kullanılacak, hesaplama yönünden ekonomik bir Sonlu Elemanlar algoritması geliştirmektir. Daimi olmayan sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerinin Sonlu Elemanlar Yön temi ile ayrıklaştırılmasında, izlenebilecek farklı yollardan basınç iterasyonu yön temleri altında yer alan Bölünmüş- Adım yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemin çeşitli uyarlamaları bulunmakla beraber, genel yaklaşımı şu şekildedir: İlk aşa mada basınç etkileri viskoz ve taşınım etkilerinden ayrılarak yalnızca viskoz ve taşınım etkilerini içeren bir ara adım hız alanı hesaplanır. Ardından, bu hız alanının diverjansı kullanılarak, ara hız alanını, sürekliliği sağlayacak bir hız alanına dönüşecek şekilde düzeltebilecek bir basınç alanı hesaplanır. Son aşa mada, bu basınç alanı yardımıyla, zaman adımının sonunda sürekliliği sağlayan bir hız alanı elde edilir. Zamansal ayrıklaştırma sonucunda ortaya çıkan ve çözülmesi gereken denklemler şunlardır:“-<+A'{^Hr^} (3) X111dxjdxj Atdxj ^ ' ”»«_". = _At* (5) Burada u* ara hız alanını, At ise zaman adımını göstermektedir. Zamansal ayrıklaştırmanın ardından uygulanacak uzaysal ayrıklaştırma SEY ile gerçekleştirilmiştir. SEY için seçilecek interpolasyon fonksiyonları, ortaya çıkan şemanın hassaslığını ve hesaplama yükünü belirleyen en önemli unsurlardan biridir. Hız ve basıncın interpolasyonunda eşit dereceli fonksiyonların kullanımı, çözümde kararsızlıklar görülmesine neden olabilir. Buna örnek olarak, birinci dereceden sürekli interpolasyonlar kullanan Q1Q1 elemanı gösterilebilir. Bu elemanın div stabilite şartını sağlamadığı ve basınç alanında istenmeyen salınımlar oluştur duğu bilinmektedir. Ancak bu eleman, hesaplama maliyeti açısından kullanışlı olduğundan, uygun bir zaman şeması seçilerek veya denklemlere bir yapay terim eklenerek kararlılaştırılmış şemalar içerisinde sıklıkla kullanılmaktadır. Birinci derece hız interpolasyonu ile birinci derece basınç interpolasyonunu bir leştirmesine rağmen div-stabilite şartını sağlayan üçgen ve dörtgen şekilli eleman ların literatürde verildiği görülmektedir. Dörtgen şekilli eleman sanki-bikuadratik hız/bilineer basınç elemanı (pQ2Ql) olarak adlandırılmaktadır. Üçgen eleman ise PlisoP2/Pl şeklinde adlandırılmakla beraber, dörtgen elemana benzer olarak sanki-kuadratik hız/lineer basınç (pP2Pl) elemanı olarak da adlandırılabilir. Bu elemanlar 'Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB)' şartı olarak da bilinen div- stabilite şartını sağlamaktadır. Bu şartın sağlanması, basınç alanında isten meyen salınımların oluşmamasını garanti eder. Buna ek olarak, bu elemanların kullanımı, eşit dereceli elemanlarla karşılaştırıldığında, basınç için çözülen Pois- son denklemi için kullanılan katılık matrisinin boyunu küçülttüğü için, bilgisayar belleği ve hesaplama süresi açısından ekonomiktir. Bu tip elemanlar oluşturu lurken öncelikle bir basınç elemanı tanımlanmaktadır. Basıncın birinci dereceden interpole edildiği bu elemanlar alt elemanlara bölünerek, bu alt elemanlar üze rinde birinci dereceden hız interpolasyonu tanımlanır. Bu işlem sonunda ortaya çıkan ana elemanda birinci derece hız interpolasyonlarının birleşimi, sanki ikinci derece yaklaşım olarak da görülebilir. Bu şekilde kurulmuş iki ve üç boyutlu elemanlar Şekil l'de görülmektedir. Yukarıda belirtilen avantajlarına rağmen bu elemanların kullanımına literatürde fazla rastlanılmamaktadır. Özellikle pQ2Ql elemanı ile elde edilmiş sonuçlara açık literatürde rastlamak mümkün değildir. Aynı şekilde pQ2Ql ve pP2Pl ele manlarından herhangi biri için yapılmış, kullanımlarının, hesaplama yükü ve has- xıvŞekil 1. Çalışmada kullanılan sonlu elemanlar ve düğüm noktalan. Dolu nok talar hız ve basıncın hesaplandığı düğümleri, boş noktalar ise sadece hızın hesaplandığı düğümleri göstermektedir. saslık açısından sıklıkla kullanılan diğer elemanlarla karşılaştırılmasının yapıldığı çalışmalara rastlanılmamaktadır. Bunlara dayanarak, bu çalışmanın hedefleri pQ2Ql ve pP2Pl elemanlarıyla elde edilmiş iki ve üç boyutlu örnek hesapla malar sunmak, bu elemanların kullanımından doğabilecek özel problemleri belirleyebilmek, sıklıkla kullanılan Q1Q1 ve PİPİ elemanları ile detaylı bilgisayar belleği ve hesaplama süresi karşılaştırmaları yapmak, şeklinde sıralanabilir. Bu hedeflere yönelik olarak, iki ve üç boyutta, zamana bağlı, laminer ve türbülanslı sıkıştırılamaz akışların çözümü için, pQ2Ql, pP2Pl, Q1Q1 ve PİPİ elemanlarına dayalı bir Sonlu Elemanlar formülasyonu sunulmuş tur. Belirtilen her eleman için, Navier-Stokes denklemleri, Bölünmüş-Adım za mansal ayrıklaştırma şemasına dayalı bir Galerkin Sonlu Elemanlar Yöntemi ile çözülmüştür. Yüksek eleman Peclet sayılan halleri için bir 'Streamline Upwind Petrov-Galerkin' yöntemi kullanılmıştır. Basınç için kullanılan Poisson denk leminin çözümünde bir önkoşullanmış eşlenik gradyen yöntemi ile iteratif yol XVizlenmiştir. Tüm katılık matrisinin birleştirilmesini önlemek amacıyla eleman- eleman çözüm tekniği uygulanmıştır. Basıncın iteratif çözümünde, önceki adım basınç değerleri ilk yaklaşım olarak kullanılarak, yakınsama hızlandırılmıştır. Türbülanslı akışların incelenmesi amacıyla, bir cebrik türbülans modeli olarak Baldwin-Lomax modeli uyarlanmıştır. Eğrisel yüzeylerin temsilinde pQ2Ql ele manlarının yeterli hassasiyeti veremediği durumlar olduğu görülmüş, buna yöne lik olarak elemanda bazı modifikasyonlar önerilmiş ve deneme problemleri ile bu modifikasyonların etkileri incelenmiştir. İki ve üç boyuttaki toplam sekiz eleman ile çeşitli deneme problemleri çözülmüştür. Bunlar, silindir üzerinde Reynolds sayısı 40 ve 3000 ile aniden harekete geçen akışın incelenmesi, iki ve üç boyutta kapağı çekilen bir kutu içerisindeki akışın incelenmesi ve düz bir levha üzerinde türbülanslı akışın incelenmesi problem leridir. Silindir üzerindeki akış problemi, elemanların zamansa! hassaslığa ne derece etki ettiklerinin görülebilmesi, kapağı çekilen kutu problemi, uzaysal ayrık laştırmanın hassasiyetinin karşılaştırılabilmesi, türbülanslı akış problemi ise bir cebrik türbülans modelinin yukarıda belirtilen elemanlarla beraber kullanımının gösterilebilmesi için seçilmişlerdir. Bu problemlerin her birinde, farklı elemanlarla elde edilen sonuçlar birbirleriyle ve literatürden alman deneysel ve başka sayısal sonuçlarla veya ampirik formüllerle karşılaştırılmıştır. Buna ek olarak, pQ2Ql ve pP2Pl elemanların hesaplama süresi açısından ne kadar ekonomik olduklarının gösterilmesi amacıyla, hesaplama süreleri detaylı olarak Q1Q1 ve PİPİ eleman larıyla elde edilenlerle karşılaştırılmıştır. pQ2Ql elemanları ve pP2Pl elemanları ile elde edilen sonuçların, aynı hız ağı üze rinde olacak şekilde, sırasıyla Q1Q1 ve PİPİ elemanlarıyla elde edilen sonuçlarla aynı veya daha iyi hassasiyette olduğu gösterilmiştir. İki boyutlu uygulamalarda, hesaplama zamanından, sanki-ikinci derece elemanlar lehine %68'e varan kazançlar elde edildiği görülmüştür. Üç boyutlu analizlerde de aynı yönde %54'e varan kazançlar gözlemlenmiştir. Sanki-ikinci derece hız interpolasyonu kullanılmasıyla, basınç için yazılan Poisson denkleminin çözümünde önemli hesaplama maliyeti kazançları elde edilebildiği sonucuna varılmıştır. Bu kazançlar, programlama ter cihlerine bağlı olarak, öncelikle bilgisayar bellek gereksiniminden veya işlemci zamanından elde edilmektedir. Ayrıca belirtmek gerekir ki, bu kazançların, uygu lanan Bölünmüş Adım zaman ayrıklaştırma yönteminde olduğu kadar, diğer basınç iterasyonu yöntemlerinin uygulanmasında da ortaya çıkması beklenmelidir. Bu çalışmada sunulan elemanların verimleri, yüksek mertebeden zamansa! ayrık laştırma şemaları ve paralel hesap uygulamaları içerisinde de görülebilir. xvı
Özet (Çeviri)
EFFICIENT FINITE ELEMENT COMPUTATION OF UNSTEADY INCOMPRESSIBLE VISCOUS FLOWS USING PSEUDO-SECOND-ORDER VELOCITY INTERPOLATION SUMMARY The objective of this study is to construct and apply a computationally cost- effective Finite Element algorithm for the solution of the unsteady, incompressible Navier-Stokes equations on arbitrarily complex flow domains in two and three space dimensions. Choice of the interpolation function for the finite element is one of the most important aspects affecting the accuracy and computational cost of the resulting scheme. The use of equal order interpolation functions for velocity and pressure can be a source of instability. An example is the Q1Q1 element pair, which employs continuous bilinear interpolation functions for both velocity and pressure. This element pair does not satisfy the div-stability condition and is known to cause oscillations primarily in the pressure field. However, it is widely used with the aid of a proper stabilizing term or time integration scheme due to its computational efficiency. Element pairs, coupling piecewise first-order velocity element with piecewise first- order pressure element, and still satisfying the div-stability condition are given in literature for triangular and quadrilateral elements. The quadrilateral element pair is also called a pseudo biquadratic velocity and bilinear pressure element (pQ2Ql). The triangular pair is called a PlisoP2/Pl pair in the literature but can also be called analogously to the quadrilateral element as a pP2Pl element. These element pairs satisfy the div-stability condition which is also known as the 'Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi'(LBB) condition. Fulfilling this condition ensures that no spurious oscillations occur in the pressure field. Furthermore, employment of these elements, when compared to an equivalent first-order pair formulation, is expected to reduce the memory requirement and the CPU time due to the fewer elements used in the solution of the Poisson equation for pres sure. However, in spite of these advantages, there is no open literature available presenting computations obtained using the pQ2Ql element pair and very few for the pP2Pl elements, discussing the efficiency of the computations in detail and comparing the results for accuracy. Therefore, the purpose of the present study is : 1. to present example computations obtained with pQ2Ql, pP2Pl element pairs, 2. to address special problems arising from the use of these element pairs, 3. to give detailed computation time and storage comparisons. To fulfill these purposes, a finite element formulation based on pQ2Ql,pP2Pl, Q1Q1 and PİPİ elements is presented for the computation of two and three dimensional laminar and turbulent unsteady incompressible viscous flows. For each one of these elements, the unsteady Navier-Stokes equations are solved using a finite element method, based on a fractional step approach with an ex plicit time marching scheme. A streamwise upwinding technique is employed to stabilize the convective term for large element Reynolds numbers. For the so lution of the Poisson equation for pressure, a preconditioned conjugate gradient method with an element-by-element technique is employed. The previous value ofpressure is used to start the iterations at each time step. This leads to consider able savings in CPU time compared to auxiliary potential function-based pressure formulations. An algebraic turbulence model, namely the Baldwin-Lomax is im plemented for the solution of turbulent flows. A modification of the original pseudo-second-order element is realized to accurately represent a curved bound ary of the domain. Test cases analyzed include the lid-driven cavity flow problem, the flow past an impulsively started circular cylinder at Reynolds numbers 40 and 3000, and turbulent flow over a flat plate at Reynolds number 2 x 106, in two space di mensions. In 3D, the lid-driven cavity flow problem at Reynolds number 1000 is analyzed. Results obtained using the pseudo-second-order velocity interpolation elements are compared in terms of accuracy and computational cost with the results obtained using equal-order interpolation pairs. Comparisons with other experimental and numerical data and empirical formula are presented. Results obtained with pP2Pl and pQ2Ql elements are shown to be as accurate as the results obtained with equal order elements on the same velocity mesh. Comparison of computational efforts for 2D cases indicates CPU time savings up to 68 per cent in favor of the pseudo-second-order velocity interpolation elements. For 3D analyses, savings up to 54 per cent are observed. It is concluded that the use of the pseudo-second-order interpolation for velocity instead of first-order interpolation reduces the computational costs. This is due to the reduction in the size of the stiffness matrix for pressure. The reduction in the computational cost may primarily be in the memory or the CPU time requirements, depending on the programming preferences. xvm
Benzer Tezler
- Kanat-uçkanat etkileşiminin sayısal analizi
Numerical analysis of wing-winglet configuration
NURHAK ERBAŞ
- Yapısal adaptif sayısal ağlar kullanarak sıkıştırılabilir akışın paralel analizi
Başlık çevirisi yok
SONER ÇETİNKAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
Astronomi ve Uzay Bilimleriİstanbul Teknik ÜniversitesiUzay Bilimleri ve Teknolojisi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. A. RÜSTEM ASLAN
- Sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla yüksek gerilim izolatörlerinde yüzey alan dağılımının hesabı
Computation of surface field distribution of high voltage insulators by the finite element method
MEHMET ÇANAKÇI
Yüksek Lisans
Türkçe
1993
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiFırat ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Y.DOÇ.DR. MEHMET CEBECİ
- Zemin-boru etkileşimi ve gömülü rijit borular üzerindeki toprak yükleri ile ilgili karşılaştırmalı bir inceleme
A comparative study on soil-pipe interaction and loads on rigid underground conduits
ERCÜMENT ECE
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGeoteknik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. TUĞRUL ÖZKAN
- Sonlu eleman programlama ile kiriş problemlerinin çözümü
The Solution of beam problems with finite element programming
UFUK ESİ