Geri Dön

Diffraction of acoustic waves by a semi-infinite cylindrical pipe

Akustik dalgaların silindir kesitli yarı-sonsuz bir borudan kırınımı

  1. Tez No: 66427
  2. Yazar: BURAK POLAT
  3. Danışmanlar: PROF. DR. ALİNUR BÜYÜKAKSOY
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği, Electrical and Electronics Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Akustik dalga, Dalga kırılması, Acoustic wave, Wave breaking
  7. Yıl: 1997
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

ÖZET AKUSTİK DALGALARIN SİLİNDİR KESİTLİ YARI-SONSUZ BİR BORUDAN KIRINIMI 1. Giriş Bu çalışmada, yüzeylerinde empedans türünden sınır koşullarının sağlandığı ve belirli bir kalınlığa sahip olan silindir kesitli yarı-sonsuz bir borudan akustik dalgaların kırınımı incelenmiştir (Bk. Şekil 1). Açısal simetri sağlamak amacıyla dalgaların bu halka kaynak tarafından uygulandığı varsayılmıştır. Bu problemin klasik Fourier dönüşümü tekniği ile formülasyonu yapılırsa, çözülmesi mümkün olmayan bir vektörel Wierier- Hopf denklemi elde edilir. Bu nedenle, Fourier dönüşümü tekniği ile Mod uydurma (Mode Matching) yöntemi birlikte kullanılmıştır. Bu karma yöntem problemi ikinci tipten skaler bir modifiye Wiener- Hopf denklem ine indirgenmiştir. Bu son problemin çözümü de sonsuz boyutlu bir lineer denklem sisteminin çözümüne indirgenmiş ve sayısal tekniklerle, yaklaşık olarak, çözülmüştür. Zı Z-> ıı- cı. Şekil 1. Problemin Geometrisi vııı2. Problemin Formülasyonu (p, <j>, z) alışılmış silindirik koordinatlan göstermek üzere, p = b, z = c > 0 çizgisi üzerinde bulunan bir halka kaynak tarafından üretilen akustik dalgaların B = {(p, <j>, z)\ a2 < p < a\, <j> ? [0, 2ıt), z < 0} bölgesinde bu lunan silindir kesitli, yarı-sonsuz bir borudan saçılmasını göz önüne alalım. Zq ortamın akustik dalga empedansmı göstermek üzere borunun p = a\, z < 0 yüzeyi Zı = Z0/r)U p = a2, z < 0 yüzeyi Z2 = Z0/r]2 ve a2 < p < ctı, z - 0 yüzeyi de Z3 = Zq/tj3 empedansı ile modellenebilir olsun. Prob lem, u(p, z) toplam alanının aşağıdaki gibi ayrılan değişik bölgelerdeki açık ifadesinin bulunmasından ibarettir: uı(p,z), p>b. u2(p,z), a,<p<b U[p'~} 1 u3(p,z), p<ax, z>0, Uj U4(p,z), p < a2, z < 0. Bilindiği gibi, a2 < p < aı, z < 0 bölgesinde toplam alan özdeşleyin sıfıra eşittir. Yukarıda sözü edilen u\, u2, u3 ve w4 fonksiyonlan, Helmholtz denklemini, açık ifadeleri aşağıda verilen sınır ve süreklilik koşulları altında sağlar: uı(b,z)=u2{b,z), z <E (-00,00) (2a) d d ?ğ-Uiib, z) - -K~u2(b, z) - 6{z-c), ze (-00, 00) (26) (ikrjı + - J u2(auz) = 0, 2<0 (2c) fîfo?2 - «-JU4(a2,2) = 0, 2 < 0 (2d) [ikri3 + - J u3(p,0) = 0, a2</o<aı (2e) «3(p,0) = «4(/>,0), p<a2 (2/) -u3(p,Q) = -u4(p,0), p<a2 (2g) u2(auz) - u3(auz), z>0 (2h) d d ?K-u2(auz) = -u3(auz), z > 0. (2i) Toplam alanın çok uzaklara gidildikçe asimptotik davranışı, radyasyon koşulu uyarınca pikr U ~ y/p2 + z2 -> 00 (2j) IXseklindedir. Ayrıca çözümün tekliğini garantileyebilmek için p = a\, z = O kenarına ilişkin u = sabit, z - > +0 (3a) dp (36) ayrıt koşullarını da göz önüne almak gerekir [9]. p>bvea\<p<b bölgelerinde bulunan u\ ve u2 fonksiyonları ld_/ d _pdp\ dp) dz2 + d2 + k2 uı(p,z) u2(p,z) = 0, z e (-00,00) (4) homogen Helmholtz denklemini sağlarlar. Bunu kolayca çözebilmek için önce etaz ile çarpıp 2 'e göre (-00, 00) aralığında integre edelim. Sonuçta, u\ ve U2 nin Fourier dönüşümleri F ve G olmak üzere, }U4)+K2M F(p, a) [G(p,a)\ = 0 (5a) buluruz. Burada K{a) = y/k2 - a2 (56) konmuş olup, karekök fonksiyonu Şekil 2'deki gibi kesilmiş kompleks a- düzleminde K(0) = k olacak şekilde tanımlanmıştır. ima n -k. -a, * -oht O,- a, ?*-? -?Re a Şekil 2. Kompleks a-düzlemi(5a) da görülen G(p, a) yi aşağıdaki gibi yazmak uygun olacaktır. G(p,a) = G+(p,a) + G-(p,a). (6a) Burada ±00 G±(p,a) = ± J u2(p,z)eiazdz (66) o olarak tanımlanmıştır. Fourier integralinin bilinen analitik özellikleri ne deniyle, (2j) koşulu uyarınca, G~(p,a) fonksiyonu ^m(a) < 3m(k) yarı- düzleminde, G+(p, a) fonksiyonu da Qm(a) > ^sm(-k) yarı-düzleminde regüler olan fonksiyonlardır. (5a) nm öı <p<bvep>b bölgelerinde radyasyon koşulunu sağlayan çözümleri göz önüne alınırsa F(p,a) = A(a)H{01)(Kp) (7) G+(p,a) + G~(p,a) = B(a)J0(Kp) + C(a)Y0(Kp) (8) yazılabileceği anlaşılır. Şimdi halka kaynağın (2a,b) ile verilen tanımının Fourier dönüşümünü göz önüne alalım. Bu A(a), B(a) ve C(a) spektral katsayıları arasında A(a)H^\Kb) = B(a)J0(Kb) + C(a)Y0(Kb) (9a) A^H^İKb) = B(a)J!(Kb) + C(a)Y1(Kb) - -- (96) K(a) bağıntıları elde edilir. (2c) nin Fourier dönüşümü alınırsa ikr]1G~(a1,a) + Ğ~(aı,a) = 0 (10) elde edilir. Burada, G~ deki (.) ilk argümana göre alman türevi gösterir. Bu denklemi (8) de kullanırsak B{a)M{a) + C{a)N(a) = W+(a) (İla) bulunur. Burada W+(a) = ikrnG+(aı,a) + Ğ+(aua), (116) M(a) = ikrn JQ(Ka{) - KJı(Kax\ (11c) N(a) = ikruYoiKax) - KYx(Kaı) (lld) şeklinde tanımlanmıştır. Öte yandan (9a,b) arasında A(a) nm yok edilme siyle C(a) - İB(a) = -^H{Q1}(Kb)eİQC (12) 2 xıelde edilir. (İla) ve (12) den B(a) ve C(a) spektral katsayıları B{a)L{a) = W+(a) + ^-Nİ^H^İKb)^010, (13a) C(a)L(a) = iW+{a) - ^-M{a)H^\Kb)eiac (136) olarak bulunur. Burada L{a) = ikrnH^İKaı)- KH[l)(Ka{) (13c) konmuştur. p < aı, z > 0 bölgesinde uz(p,z) fonksiyonunun sağladığı Helmholtz denkleminin Fourier dönüşümü alınırsa ?£('£) +**w H+(p,a) = f(p) + ag(p) (14a) yazılır. Burada oo H+(p,a) = Ju3(p,z)eiazdz, (146) o fİP) = fcUs(P,0) » 9İP) = -*«s(p, 0) (14c, d) olarak tanımlanmıştır. (14a) mn Green fonksiyonu tekniği ile çözümü H+(p,a) = j^{D(a)J0(Kp) + J[f(t) + ag(t)]Q(t,p,a)tdt} (15a) o ntni,*fMKp)[M(a)Y0(Kt)-N(a)J0(Kt)], 0<p<t ^[p'ha)~ 2\MKt)[M(a)Yo(Kp)-N(a)Jo(Kp)}, t < p < a, (156) şeklindedir. (2h) ve (2i) süreklilik koşullarını birlikte göz önüne d d ıkr}ıu2(auz) + y-u2(aı,*) = ikrjıu3(auz) + -u3(auz), z > 0 (16a) şeklinde yazalım ve bunun Fourier dönüşümünü alalım. ikruH+icn, a) + #+(aı, a) = W+(a). (166) (15a) yi ve p ya göre türevini (16b) de yerine koyarsak, D(a) spektral katsayısı D(a) = W+(a) (17) xiiolarak bulunur. Böylelikle (15a) 1 H+(p,a) = ~^[w+(a)Jo(Kp) + j[f(t) + ag(t)}Q(t,p,a)tdt] (18) o şeklinde yazılabilir. (18) in sol tarafı üst yarı ct-düzleminde regüler olduğundan sağ taraf da aynı özelliği sağlamalıdır. Sağ tarafın regülerliği M(a) nm sıfırları olan a = ±o;TO noktalarında oluşan kutuplarda bozulur: ir}ıkaıJ0(ym)-ymJı(~fm) = 0, am - Jk2 - (- j, Şfm(am) > 9fm(fc) (19) Bu kutuplar W+(am) = y«/o(7m)[l ~ {?nıkalhmf]{fm + CXm.gr, bağıntısı sağlandığı taktirde kaldırılabilir. Burada (20a) Jm 9m Gı^o(7m)[l - (r)1kaı/'ym)2} *1 / Jo(lm-)tdt (206) konmuştur. p < a2, z < 0 bölgesinde toplam alan «4 n=l şeklinde Dini serisine açılabilir. Buradaki £n 1er (2d) uyarınca ir}2ka2Jo(Çn) + ÇnJı(Çn) = 0, n = l,2,.“ denklemi sağlanır. (2f) ve (14d) denklemlerinden u*(p, 0) = ig(p), p < a2 elde edilir. Ayrıca (2e), (2f) ve (2g) koşullan birlikte kullanılarak (., d\ j (ikT)3 + -)Mp,o),p< l 0, a2 < p < a\ yazılabilir. Böylelikle (21a) (216) (22) a2 (23) [ihı.3 + - Ju4(/>,0) 0, a2 < p < a\ p<a2 (24) X111elde edilir. (20b) eşitliği f(p) and g{p) fonksiyonlarını aşağıdaki gibi Dini serisine açma olanağı verirler: fİP) g(p) Jm 9m Johrn-)- Ol (25) Burada fm 1er (19) ile tanımlanmıştır. (21a) ve (25) i (22) ve (24) ün içersinde yerine koyarsak Eg m Jq {im -) = Y] ('n Jq [İn~), P < n.ı *? ' fin m-1 «1 n=l 02 02 (26) ve V^,r, XT/ P\ I -«y]cn(^n-^3)Jo({n - ), P < d2 2^ Um - kr}3gm)Jo (7m - ) = < ~J a2 ro=l I ”k 0, a2 < p < ax (27) elde ederiz. (26) nm her iki tarafını p Jq (& jf-) ile çarpıp /3 = 0 dan p - a2 ye integre edersek 2İ A O c* = / / o S'm 5 t - 1,2,.. bulunur. Burada u^, Q,m ve $TO^, sırasıyla V* = 1 - (??2&G2/6?)2 (28a) (286) Ûm = ir]2ka2J^ma2jax) + (nfma2/a1)J1(jma2/a1) (28c) 2 t2 ?dmi^dmO-z/ai) -&, (28d) olarak tanımlanmıştır. Benzer şekilde (27) nin her iki tarafını pJo^e-^-) ile çarpıp p = 0 dan p = aı e integre edersek // - ^?3ff? = -2». /a2\ îîf ^ (fin - km)Jo(Çn) E ?d tn elde edilir. Burada ı/£ ut- 1 -(mkaı/je)2 olarak tanımlanmıştır. (2h) süreklilik koşulunun Fourier dönüşümü alalım: C-n, *- - 1, Z,... (29a) (296) H+(aua) = G+(aua). (30) XIV(8), (13a,b), (15a) ve (25) ifadeleri (30) da yerine konur ve terim terim integral alınırsa aşağıdaki ikinci tip modifiye Wiener-Hopf denklemi elde edilir: -YG (a1,a)+Tj-5-=---7f-re +y ^ (< _ ^ [/m+a*m] (31a) Burada ^(a) = 7TtM(a)X(a) (316) dir. 3. Modifiye Wiener-Hopf Denkleminin Yaklaşık Çözümü (31a) de görülen Wiener-Hopf denklemini çözmek için önce bu ifade deki V(a) çekirdek fonksiyonunu Wiener-Hopf anlamında, yani, V{a) = V+(a)V~(a) (32) şeklinde ayrıştırmak gerekir. Buradaki V+(a) ve V~(a), sırasıyla, 'îsm(a) > 3tn(- k) ve 3m(a) < Sto(&) yarı-düzlemlerinde regüler ve sıfırları olmayan fonksiyonlardır. Açık ifadeleri Ek-A da verilmiştir. (31a) nın iki tarafı V~(a) ile çarpıldıktan sonra Wiener-Hopf anlamında dekom- poze edilirse, Liouville teoremi uyarınca W+(a)“ x, «ı ^ Mim) V+(am) rf -- - - = 1(a) + - > - : - ? -[fm - amgr 1+{q) 2 ^ 2am (a + ttm) (33a) olduğu görülür. Burada 1{a) = _1 !/r,^il* (336) w 2tr 2 y w £(r) (r - a) v ; £+ ile verilir. (33b) deki integral semer noktası tekniği ile değerlendirildiğinde 1(a) = Irea(<x) + Ii(a) (34a) Ire3(a) = -^V-(a)HoT(KbKiacHlZm(kcos6o - a)) (346) l L(a) _.. ei3ff/4v^ sin^o ^-(fecosöo) e^° V27T 2 r}ı +sm60 {a - kcos&o) kr0 XVşeklinde bulunur. Burada b - a\ - tq sin 60, c = ro cos 9q (34d) değişken dönüşümü yapılmıştır ve H birim basamak fonksiyonunu belirt mektedir. (33a) denkleminde a = atı, 012,... değerlerini yerleştirerek ve (20a) denklemini de kullanarak fr ve gr sabitleri için aşağıda verilen denklemi elde ederiz. ^7T7 d/r + Oir9r\ = - i(«r) + V ^~,, ^ J/m - «mÖ-mJ, v m=l x r = l,2,... (35) (28a) yi (29a) içinde yerleştirirsek, fr sabitleri gr 1er cinsinden /r = ^+4(?i)2Jj7Tf;9”a"E^2L- (36) şeklinde ifade edilir. (36) yi (35) içinde yerleştirerek gr sabitlerine ilişkin sonsuz bilinmeyenli bir sonsuz denklem takımı elde edilir: - w+m - + CrM oo 1 9r+ /] Cm{oir)gm = - /(oy), ra=l r = l,2,... (37a) ~,, «/o(7m)^+(aTO)(A;?73 - aTO) /«2\20 k^ fin - krj3 ? Cm{ar) = t ? r + I - ı umy - 4am(ar + am) \aı/ ^ vnV x, - «.- mn 2Qr ^ V+(as)ü V+(ar)J0(7r)tfrn ~ ÛS(»r + Û!s) JoM^sn j ' (37a,b) ile verilen sonsuz bilinmeyenli sonsuz denklem sistemi belirli bir N sayısından sonra kesilerek gr değerleri yaklaşık olarak belirlenir. Buna bağlı olarak ey ve fr değerleri de (28a) ve (29a) denklemlerinden bulunarak Ui, i = 1,2,3,4 alanları çözülür. 4. Toplam Alanın Analizi p > b bölgesindeki toplam alan F(p,a) nm ters Fourier dönüşümü yardımıyla bulunur. (7) den oo uı(p,z) = i- J A(a)H{01)(Kp)e-iazda (38) XVIyazılır. (9a), (13a,b), (33a) ve (34a,b) denklemlerinin ard arda kullanılmasıyla toplam alan fr ve gr sabitlerine bağlı olarak bulunmuş olur. (38) deki integralin semer noktası tekniğiyle asimptotik ifadesi elde edilir. xvıı

Özet (Çeviri)

ABSTRACT An asymptotic high-frequency solution is presented for the problem of diffraction of acoustic waves emanating from a ring source by a semi- infinite cylindrical pipe of certain wall thickness having different internal, external and end surface impedances. By using the Fourier transform technique in conjunction with the Mode matching method, the diffraction problem is reduced into a modified Wiener-Hopf equation of the second kind and then solved approximately. Various numerical results illustrating the effects of the parameters of the problem on the diffraction phenomenon are presented. vu

Benzer Tezler

  1. Tez No

    66494

    Akustik yüzey dalga esasına dayanan filtrlerin analizi, tasarımı ve GSM sistemindeki uygulamaları

    Analysis and design of saw filter and saw filter applications in GSM

    H.CEMİL KARAGÜZEL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ERGÜL AKÇAKAYA

  2. Tez No

    9613

    Analysis of sound field in enclosed spaces by ray tracing technique

    Başlık çevirisi yok

    LEVENT TOPAKTAŞ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    1990

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MEHMET ÇALIŞKAN

  3. Tez No

    100716

    Dikdörtgen kesitli konser salonlarının akustik değerlendirmesi için bir tasarım yöntemi

    A Geometric design method for the acoustic evaluation of rectangular croos-sectconed concert halls

    NURGÜN TAMER BAYAZIT

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1999

    Mimarlıkİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF. DR. SELMA KURRA

  4. Tez No

    46557

    Eşit aralıklı paralel üç şeritten düzlemsel dalgaların kırınımı

    Plane wave diffraction by three equidistant parallel strips

    LEVENT TAVACIOĞLU

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1995

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. ALİNUR BÜYÜKAKSOY

  5. Tez No

    21817

    Lineer olmayan gemi dalgalarının ışın teorisi (ray theory) ile incelenmesi

    A Ray theory approach to nonlinear ship waves at low froude numbers

    NURHAN KAHYAOĞLU

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1992

    Gemi Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF. DR. ALİ İHSAN ALDOĞAN

Geri Dön