On almost complex and almost quaternionic substructures and foliations
Başlık çevirisi mevcut değil.
- Tez No: 55915
- Danışmanlar: PROF.DR. AYNUR UYSAL
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Alt yapı, Infrastructure
- Yıl: 1996
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
ÖZET YAKLAŞIK KOMPLEKS VE YAKLAŞIK KUATERNIYONIK ALTYAPILAR VE YAPRAKLANMALAR Bu çalışmada yaklaşık kompleks ve yaklaşık kuaterniyonik altyapıların geometrisi, yani teğetler demetinin yaklaşık kompleks ve yaklaşık kuaterniyonik yapı taşıyan alt demetlerinin geometrisi ele alınmıştır. Birinci bölümde bu çalışmada kullanılan tanım, önerme ve teoremler verilmiştir. Bir M manifoldu üzerinde S dağılımı (distribüsyon) tanımı verilip bilinen Frobenius teoremi ifade edilmiş, manifold üzerindeki lif demetlerinden bahsedilip lineer çatıların demeti buna bir örnek olarak verilmiştir. Asosiye demet tanımı verilip tensör demetinden söz edilmiştir. Bağlantılar, verilen bir eğri için yatay lift ve liflerin paralel kayması, indirgenmiş demet tanımları yapılıp ilgili lemmalar verilmiştir. Vektör demetleri üzerindeki bağlantılardan söz edip <p nin E vektör demetinin bir kesiti olması halinde yöndeş (kovaryant) türev tanımı, <p kesitinin paralel olmasının anlamları söylenmiştir. Bir E vektör demeti üzerinde g lif metriği diye her a; E M için x noktasında differensiyellenebilen 7rğ1(a;) üzerindeki gx iç çarpımı anlaşılmaktadır. E de verilen g lif metriği için eğer E nin liflerinin paralel kayması g lif metriğini koruyorsa bu durumda P deki bağlantıya metrik bağlantısı denmektedir. (r, s) tipinde bir A“ tensör alanı için VA”kovaryant türevi (r, s + 1) tipinde bir tensör olarak tanımlanmıştır. Bir V reel vektör uzayı üzerinde bir kompleks yapı ve bir M manifoldunun TX(M) teğet uzayı üzerinde de yaklaşık kompleks yapı tanımı verilmiştir. Bir M manifoldu üzerinde verilen (1,1) tipinde A ve B iki tensör alam için A ve B nin burulması (1,2) tipinde bir tensör alanı olarak gösterilmiştir. Bir yaklaşık kom pleks yapıya burulması olmadığında integrallenebilirdir denir. Ayrıca bir yaklaşık kompleks yapının kompleks yapı olması için gerekli ve yeterli koşul burulmasının sıfır olmasıdır. ikinci bölümde bir M Rieman manifoldu ve bir fc-boyutlu P dağılımıele alınarak P üzerinde bir yaklaşık altyapı tanımlanmıştır. C(M, P) ile kısmi yaklaşık kompleks lineer çatıların kümesi ve J, J yaklaşık yapının genişletilmişi olmak üzere U(M,P) ile de üniter çatıların kümesi gösterilmiştir. Bir ortonormal lineer çatının kısmi üniter çatı olabilmesi için genişletilmiş yaklaşık kompleks yapının şu şartı sağlaması gerekmektedir: uJk = Ju M üzerindeki bir afin (lineer) bağlantı U(M,P) deki bir bağlantıya in- dirgenebilirse bu bağlantıya kısmi üniter bağlantı denir. Integrallenebilen bir P dağılımı ve P tarafından tanımlı bir T yaprak lanması (foliasyon) ele alındı. Yani, J7, P üzerinde, yaprakları P nin maksimal integral alt nıanifoldları olan yapraklanmadır. £, J- nin bir yaprağı olmak üzere yaklaşık kompleks yapının C ye kısıtlanmışı olan J\c tensörü, C üzerinde bir yaklaşık kompleks yapıdır. Böylece (£, J\c) ikilisi bir yaklaşık kompleks yapıdır. Bir C 6 T yaprağının bir kompleks yapı oluşturması şu önerme ve sonuç ile verilmiştir: Önerme. Her C G T nin [J\c, J\c] = 0 olabilmesi için gerek ve yeter koşul M üzerinde [Jp, Jp}(p,p) = 0 olmasıdır. Sonuç. Eğer M üzerinde [Jp,Jp](p,p) tensörü sıfır ise, T yapraklanmasının bütün yapraklan kompleks yapı taşır. J, P üzerinde hermitik kompleks altyapı, Lz P nin şekil operatörü XeP^ZeQ^P1- için LZ(X) = -p(Va-Z) ve Lz, Lz nin Lz = JLZ şeklinde tanımlı eşlenik şekil operatörü olmak üzere aşağıdaki önermeler geçerlidir: Önerme. P integrallenebilir olsun. Lz nin skew-adjoint olması için gerek ve yeter koşul JLZ = Lz J olmasıdır. Önerme. P integrallenebilir olsun. Eğer integral alt manifoldlar tama men göbek (ombilik) ise Lz skew-adjointtir. Önerme. P integrallenebilir olsun. Integral nıanifoldlarm tamamen göbek olabilmesi için gerek ve yeter şart Lz self-adjoint, Lz P üzerinde kompleks lineer ve her Z 6 Q için P nin her kompleks alt demetinin Lz değişmez olmasıdır. Üçüncü bölümde, yaklaşık kuaterniyonik altyapı kavamı /-yapıları cinsinden incelenmiştir. M, U komşuluğunda /-yapılarından oluşan vi{jP, G, H} gibi bir yerel baza sahip üç boyutlu bir V demeti kabul eden bir Rieman manifoldunu göstermektedir. FG = - GF = H, GH = -HG = F, HF = -FH = G şartları da sağlanıyorsa V demeti M üzerinde bir yaklaşık kuaterniyonik altyapı tanımlar. Yani, manifoldun her noktasında teğet uzay, birisi kuaterniyonik vektör uzay yapısı taşıyan iki alt uzaya ayrılır. p - -F2 yazılırsa p ve q = l-p tensör lerinin her nok tasında bütünler izdüşüm dönüşümler oldukları görülmüştür. Burada p, kuaterniyonik vektör uzayı yapısı taşıyan altuzaya olan dönüşümdür. Her noktaya p ve q dönüşümlerinin görüntülerinden meydana gelen düzlem alanları sırasıyla P ve Q ile gösterilmiştir. Bir /-yapının rankı manifold üzerinde sabit kaldığından her x G M için P(x) in boyutu aynı ola caktır ve P(x) kuaterniyonik vektör uzayı yapısı taşıdığından boyutun 4m tipinde olduğu görülmüştür. Bu çalışmada kuaterniyonik halde manifoldun boyutu n = 4m + k olarak alınmıştır. Manifoldun metriği g nin de her X,Y e X(M) ve V nin her <f> kesiti için g(X, <£F ) + g(<j)X, Y) = 0 eşitliğini sağladığı ve bu metriğe göre her x ? M için P{x) ve Q(x) uzay larının dik oldukları kabul edilmiştir. FmıGjmHrn ile R4m üzerinde standard kuaterniyonik yapı tanımla yan dönüşümler gösterilmiştir. M nin her x noktasında, ortonormal çatı demeti O(M) nin, o noktada Vnin bir bazı ile yerdeğiştirme özelliğine sahip yani uFm = Fu, uGm = G'u, uHm = Hu eşitliklerini sağlayan u elemanları 0{M) nin H{M) ile gösterilen ve yapı grubu Sp(m)Sp(l) X O(k) olan bir altdemetini oluşturur. 0{M) - ? M izdüşümü de 7T ile gösterilmiştir. Eğer V nin her <f> kesitinin yöndeş türevi yine V nin içinde kalıyorsa 0(M) üzerindeki bir bağlantı H(M) üzerindeki bir bağlantıya indirgenebilir. Yaklaşık kuaterniyonik altyapı taşıyan manifoldlar üzerindeki bağlantılarla ilgili olarak aşağıdaki teoremler bulunmuştur: Teorem. 0(M) üzerinde V yöndeş türevli bir T bağlantısının H(M) üzerinde bir bağlantıya indirgenebilmesi için gerek ve yeter şart Vnin her bazına ait F, G, ve H tensör alanlarının yöndeş türevlerinin şu koşullan sağlamasıdır: VF = +aG - bH VG = -aF + cH VH = +bF - cG Burada a, b, c belirli 1-formlardır. Lemma. T, H{M) e indirgenebilen bir bağlantı olsun, a, 6, c 1-formları- nm a(FX) = b(X) viia(GX) = -c{X) b{HX) = c{X) şartlarını sağlanması için gerek ve yeter koşul; ( VF){FX, Y) + (VF)(X, FY) = 0 (VG)(GA“,F) + (VG)(X,GY) = 0 (VH){HX, Y) + (V#)(X, HY) = 0 olmasıdır. Teorem. Eğer M nin H(M) e indirgenebilen burulmasız bir bağlantısı varsa, herhangi bir <j> £ {F,G,H} için (V<f>)(<j>X,Y) + (V<f>)(X,<j>Y) = 0 koşulu geçerli ise [K,K] = 0 ve [F,F] = 0, [G,G] = 0, [H,H] = 0 dır. Burada K, ç ve p tensörlerinin fark tensörüdür: K = q - p. Integrallenebilen bir P dağılımı ve P tarafından tanımlı bir T ele alınmıştır. V yaklaşık kuaterniyonik yapının £ üzerine kısıtlanmış ten- sörü olan V\c, C üzerinde bir yaklaşık kuaterniyonik yapı olmak üzere bir £ ? T yaprağının bir kuaterniyonik yapı oluşturması için aşağıdaki önerme ve sonuç verilmiştir: Önerme. Her £ E T nin [V\c, V\c] = 0 şartını sağlaması için gerek ve yeter şart M üzerinde [Fp,Fp}(p,p) + [Gp,Gp](p,p) + [Hp,Hp}(p,p) = 0 olmasıdır. Sonuç. T nin bütün yapraklarının bir kuaterniyonik yapı taşıması için gerek ve yeter şart M üzerinde {[Fp, Fp) + \Gp, Gp) + [Hp, Hp})(p,p) = 0 olmasıdır. M, 4ra + n boyutlu Rieman manifoldu ve p : TM - ? P ve q : TM - ? Q ortogonal izdüşüm dönüşümleri olsun, ayrıca {F,G,H}, P üzerinde yaklaşık kuaterniyonik altyapı olsun. P nin Lz şekil operatörü Z & Q = P1- ve X 6 P için Lz{X) = - p(VxZ) ve Lz nin eşlenik şekil operatörü viiiCLz = (F + G + H)Lz şeklinde tanımlanmıştır. Bu tanımlar altında aşağıdaki önermelere ulaşılmıştır: Önerme. P integrallenebilir olsun. CLz in skew-adjoint olması için gerek ve yeter şart (F + G + H)Lz = Lz(F + G + H) olmasıdır. Önerme. P integrallenebilir olsun. Eğer integral altmanifoldlar tama men göbek ise CLz skew-adjointtir. Önerme. P integrallenebilir olsun. Integral manifoldlarm tamamen göbek olabilmesi için gerek ve yeter şart Lz self-adjoint, Lz, P üzerinde kuaterniyonik lineer ve her Z G Q için P nin her kuaterniyonik altdemeti Lz nin değişmez olmasıdır. Dördüncü bölümde, Ali Doğanaksoy'un ”Yoğun Yapraklı 2-boyutlu Yaklaşık Kompleks Yapraklanması için H1(Cj(Jr),C°°(M)) Trivial Ol mama Durumu“ isimli çalışması incelenmiş ve bu çalışma ”Yoğun Yap raklı 4-boyutlu Yaklaşık Kuaterniyonik Yapraklanmalar" a genişletilmiş ve aşağıdaki teoremler elde edilmiştir: Teorem. X - > a{X) bağıntısı Cv(F) üzerinde C°°(M) değerli 1-cocycle- dır. <y9, P nin bir kesiti olmak üzere a nm kohomoloji sınıfı [a], <p seçi minden bağımsızdır. Teorem. T yoğun bir yaprak ise [a] ^ 0. ıx
Özet (Çeviri)
SUMMARY In this work the geometry of the almost complex and almost quater- nionic substructures, that is the geometry of subbundles of the tangent bundle of the manifolds carrying almost complex and almost quaternionic substructures is studied. The following theorem giving the conditions for an almost complex structure defined on each leaf of a foliation, leaves of which are maximal integral submanifolds of a distribution form a complex structure is given: If the torsion of the restricted tensor of the almost complex structure is zero on the distribution then the almost complex structure defines a complex structure. Another result obtained is that if the torsion of the tensor which represents the tangent bundle on the distribution is zero on the manifold then all leaves of the foliation cany a complex structure. The theorem and the result obtained for almost complex structures have also been found for the almost quaternionic structures. Finally the work of Ali Doğanaksoy titled“Non Triviality of ff1(>Cj(^'),C,00(M)) for a 2-Dimensional Almost Complex Foliation T with a Dense Leaf”has been studied and the results in that work have been extended to“4- Dimensional Almost Quaternionic Foliations with a Dense Leaf”and some theorems have been obtained. IV
Benzer Tezler
- Some consequences of the existence of almost complex and almost quaternion substructures on the sphere
Başlık çevirisi yok
MOHAMMED ABDELAL
- Elektron ışın kaynağı ve otomotiv endüstrisindeki uygulamaları
Başlık çevirisi yok
ERCAN CİHAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SELAHATTİN ANIK
- Elektrik motoru seçim kriterleri ve kontrol organına bir limiter konulmuş motorun optimal parametrelerinin simpleks metodu ile tayini
Başlık çevirisi yok
VOLKAN ÇAKMAKÇI
