Transformations of non-classically correlated states
Klasik olmayan ilintili durumların dönüşümleri
- Tez No: 539541
- Danışmanlar: PROF. DR. ALİ YILDIZ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2019
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Tüm bilim tarihinde olduğu gibi, doğanın işleyiş yasaları keşfedildikten sonra bu keşifler insanlığın kullanabileceği ürünler vermeye başlamıştır. Ne var ki bilimin ve teknolojinin geldiği aşamada bilgi işlem teknolojileri klasik sistemler kullanarak ulaşabileceği sınırlara yaklaşmıştır. Artık küçülen devrelerle birlikte daha önceden dikkate alınmayan kuantum ilintiliklerin dikkate alınması zorunlu hale gelmiştir. Bu kuantum etkileri kuantum bilgisayarlarında, bilgi işleme süreçlerinde ve kriptografide devrim niteliğinde sıçramalara yol açmıştır. Bu tez bütünü itibariyle çeşitli klasik olmayan ilintiliğe sahip durumların ({\em non-classically correlated states}) kendi içinde deterministik ({\em deterministic}) ve olasılıksal ({\em probabilistic}) dönüşümleri ({\em transformations}) ile ilgilidir. Burada ele alınacak klasik olmayan ilintilikler--dolaşıklık ({\em entanglement}), kuantum eşevrelilik ({\em quantum coherence}) ve kuantum uyuşmazlık ({\em quantum discord})--birçok kuantum bilgi işleme süreçlerinde kaynak ({\em resource}) olarak kullanılmaktadır. Bilgi işleme süreçlerinin başarısını artırabilmek adına bu kuantum ilintililerin kuantum operasyonlar yardımıyla daha iyi performans verebilecek aynı sınıftaki başka kaynaklara dönüştürülebilmesi oldukça önemlidir. Bu bağlamda, ilk olarak, $d$-seviyeli eşevreli bir başlangıç durumunun ({\em initial coherent state}), örneğin $\sum_{k=1}^{d}a_k e^{i\alpha_k}\ket{k}$ ($a_k \in {\rm I\!R}$ ve $0\leq \alpha_k \leq \pi$), başka bir $d$-seviyeli eşevreli hedef durumuna ({\em target coherent state}), örneğin $\sum_{k=1}^{d}b_k e^{i\beta_k}\ket{k}$ ($b_k \in {\rm I\!R}$ ve $0\leq \beta_k \leq \pi$), eşevreli olmayan operasyonlar ({\em incoherent operations}) üzerinden deterministik dönüşümleri çalışılmıştır. Eşevreli herhangi bir durumun katsayıları o duruma ait tüm bilgiyi içerir diyebiliriz. En genelde bu katsayılar arasında düzenli bir sıralamanın olması zorunlu değildir; ancak bu katsayıları eşevrelilik yaratmayan çeşitli birimsel ({\em unitary}) dönüşümler yardımıyla büyükten küçüğe (ya da küçükten büyüğe) olacak şekilde sıralamak mümkündür. Örneğin, eşevreli başlangıç durumuna ait katsayılar $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_d \geq 0$ ve eşevreli hedef durumuna ait katsayılar $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_d \geq 0$ şeklinde olsun. Bazı farklı iki eşevreli durumun büyükten küçüğe doğru sıralı olan katsayıları arasında {\em majorization} adı verilen bir kısmi sıralama ({\em partial order}) da mevcuttur. Şöyle ki, $\sum_{i=1}^{k}a_i^2 \leq \sum_{i=1}^{k}b_i^2$ eşitsizliği her $k=1,2,\dots,d$ için sağlanır ise ($k=d$ için $\sum_{i=1}^{d}a_i^2 = \sum_{i=1}^{d}b_i^2=1$ olmaktadır) başlangıç ve hedef eşevreli durumlar arasında bir majorization ilişkisi mevcuttur. Daha da önemlisi, majorization koşulu sağlandığı takdirde eşevreli başlangıç durumu hedef duruma eşevreli olmayan operasyonlar yardımıyla deterministik olarak dönüştürülebilmektedir (majorization, böylesi dönüşümler için gerek ve yeter şarttır). Bu tezin ilk bölümünde bu dönüşümü gerçekleştiren iki farklı yöntem önerilmiştir. Birinci yöntem ilgili dönüşümü tek adımda başaran permütasyon odaklı bir yöntemdir. Başlangıç ve hedef durumlarının katsayıları $a_x$ ve $b_x$ ($x=1,\dots,d$) arasındaki bağıntılara göre ($a_x\geq b_x$ veya $a_x\leq b_x$) bir tablo elde edilmiştir. Bu tablo olası tüm permütasyonları içermektedir. Daha sonra, önerdiğimiz resmedilmiş yöntem vasıtasıyla hangi permütasyon kümelerinin yeterli olduğu belirlenmiştir. Belirlenen bu permütasyon kümeleri kullanılarak ilgili dönüşümü gerçekleştiren kuantum ölçüm operatörleri ve olasılıklar elde edilmiştir. Bu yöntem kullanılarak tüm ölçüm operatörleri ve olasılıklar $d=2,3,\dots,6,7$ seviyeleri için elde edilmiştir. Ayrıca bu yöntem çok sayıda yüksek seviyeli başka örnekler ile de test edilmiştir. Bu ilk yönteme ait çeşitli genel çözümler de elde edilmiştir, ve bu tezde özel olarak bir tanesi sunulmuştur. İkinci yöntem $d$-seviyeli iki eşevreli durumun dönüşümünü birinci yöntemde olduğu gibi tek adımda yapmak yerine (belli bir adımda) peş peşe yapılan dönüşümlerle sağlamaktadır. İkinci yöntemde, birinci yöntemden faydalanılarak, $d'$-seviyeli ($d'<d$) dönüşümler için elde edilen sonuçlar kullanılmıştır. İkinci yöntem detaylıca açıklanırken $d'=5$ alınmıştır. Bu durumda toplam adım sayısı $\lfloor {(d+2)}/{4} \rfloor$ olmaktadır. İkinci yöntemde dikkat edilmesi gereken en önemli nokta peş peşe yapılan her bir ölçümde majorization koşulunun korunması gerekliliğidir. Majorization şartının her bir adımda korunabilmesi için ara durumların ({\em intermediate coherent states}) doğru şekilde belirlenmesi oldukça önemlidir. İlk önce her bir ölçüm için ara durumlar belirlenecek, ardından birinci yöntem ile elde edilen sonuçlar kullanılarak istenilen dönüşüm gerçekleştirilecektir. Bu yöntemin nasıl çalıştığı ve majorization koşulunun her bir adımda korunması gerektiğinin önemi bir örnek ile detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Eşevreli durumların dönüşümleri için literatürde çeşitli başka yöntemler de mevcuttur. Ancak bazı çalışmalardaki çözümler dolaşıklık dönüşümlerine uyarlanamamaktadır. Öte yandan, bu tezde eşevreli durumların dönüşümleri için elde ettiğimiz her iki yöntem de kolaylıkla dolaşıklık dönüşümlerine uygulanabilmektedir. Bu bağlamda, her biri $d$-seviyeli iki parçacıklı dolaşık saf bir başlangıç durumunun ({\em initial bipartite entangled pure state}), örneğin $\sum_{k=1}^{d}a_k e^{i\alpha_k}\ket{k}\ket{k}$ ($a_k \in {\rm I\!R}$ ve $0\leq \alpha_k \leq \pi$), yine her biri $d$-seviyeli olan iki parçacıklı dolaşık saf bir hedef durumuna ({\em target bipartite entangled pure state}), örneğin $\sum_{k=1}^{d}b_k e^{i\beta_k}\ket{k}\ket{k}$ ($b_k \in {\rm I\!R}$ ve $0\leq \beta_k \leq \pi$), yerel operasyonlar üzerinden deterministik dönüşümleri çalışılmıştır. Burada $a_k$ ve $b_k$ başlangıç ve hedef durumların Schmidt katsayıları olarak bilinmektedir. İki parçacıklı dolaşık bir durumun Schmidt katsayıları o birleşik sisteme ait tüm bilgiyi içermektedir. Bu Schmidt katsayılarını (eşevreli durumların katsayılarında da olduğu gibi) çeşitli yerel birimsel dönüşümler yardımıyla büyükten küçüğe (ya da küçükten büyüğe) olacak şekilde sıralamak mümkündür. Benzer şekilde, ilk duruma ait Schmidt katsayıları $a_1 \geq \dots \geq a_d \geq 0$ ve son duruma ait Schmidt katsayıları ise $b_1 \geq \dots \geq b_d \geq 0$ şeklinde olmak üzere, bunlar arasında majorization koşulu, $\sum_{i=1}^{k}a_i^2 \leq \sum_{i=1}^{k}b_i^2$ ($k=1,2,\dots,d$), sağlanıyor ise eşevreli durumların dönüşümleri için elde ettiğimiz çözümler $d \otimes d$ dolaşık durumların dönüşümlerini de gerçekleştirir. İlgili problem için çeşitli örnekler verilerek sunulan iki yöntemin de dolaşıklığa uygulanabilirliği gösterilmiştir. Sonrasında, kuantum eşvrelilik damıtma ({\em quantum coherence distillation}) olarak bilinen, oldukça önemli, bir diğer problem farklı bir çerçeveden incelenmiştir. Bu bölümde sunulan yöntem dolaşıklığa da uygulanabilmektedir. Kuantum bilgi işleme süreçlerinde kaynak olarak kullanılan kuantum durumları bu süreçlerde farklı performans göstermektedir. Dolaşıklığı ele alacak olursak, iki parçacıklı bir kuantum durumunu oluşturan parçacıklar arasında dolaşıklık miktarı ne kadar büyükse, bilgi işleme sürecinin başarıya ulaşma olasılığı o denli yüksek olmaktadır. Örneğin, $a\ket{1}\ket{1}+b\ket{2}\ket{2} (a\geq b>0)$ ile $1/\sqrt{2}(\ket{1}\ket{1}+\ket{2}\ket{2})$--iki kubit maksimal dolaşık durum--kaynak durumlarının kuantum telenakil ({\em quantum teleportation}) prokolündeki başarı olasılıkları sırasıyla $2b^2$ ve $1$ olmaktadır. Diğer bir ifadeyle kaynak durum dolaşıklığı ne kadar fazla ise protokolün başarı olasığı da o denli yüksektir. Bu bağlamda, $d$-seviyeli eşevreli bir başlangıç durumunun, örneğin $\sum_{i=1}^{d}\psi_i\ket{i}$ ($\psi_i \in {\rm I\!R}$), $q$-seviyeli eşevreli hedef durumlarına, $\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{i=1}^{q}\ket{i}$ ($q=2,\dots,d$), eşevreli olmayan operasyonlar üzerinden deterministik dönüşümleri çalışılmıştır. Burada $\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{i=1}^{q}\ket{i}$ durumu $q$-seviyeli maksimal eşevreli durum olarak bilinmektedir. Standart damıtma probleminde $d$-seviyeli eşevreli bir başlangıç durumdan $d$-seviyeli maksimal eşevreli durum ve $(d-1)$-seviyeli eşevreli herhangi bir son durum elde edilmektedir. Bu tezde, standart eşevrelilik (dolaşıklık) damıtma probleminden farklı olarak, tüm $q$-seviyeli maksimal eşevreli (dolaşık) durumlar elde edilmiştir. Eşevreliliğin hangi miktarda yitirildiği de tartışılmıştır. Sunulan yöntemde sıfırdan farklı bir olasılıkla eşevreli olmayan (benzer şekilde dolaşık olmayan ({\em separable})) bir durum da, $\ket{1}$ ($\ket{1}\ket{1}$), elde edilmiştir. Ayrıca, quantum eşevrelilik ve dolaşıklık dönüşümleri için sunulan yöntemlerden (ikinci ve üçüncü bölümler) yararlanılarak $\ket{1}$ ($\ket{1}\ket{1}$) durumunu elde etme olasığı sıfırlanmıştır. Böylelikle, sunulan protokolü bir adım ileri götürerek, son aşamada elde edilen tüm durumların her bir seviyeye ($q=2,\dots,d$) ait maksimal eşevreli (dolaşık) durum olması sağlanmıştır. İlgili yöntem bir örnek ile tartışılmıştır. Kuantum bilgi işleme süreçlerinde, iki parçacıklı ({\em bipartite}) sistemlerin dolaşıklığı kadar çok parçacıklı ({\em multipartite}) sistemlerin dolaşıklığı da önemli bir yer tutmaktadır. Bu bağlamda, üç parçacıklı (her biri iki-seviyeli olan) sistemlerin dolaşıklık dönüşümleri de hem deterministik hem de olasılıksal çerçeveden incelenmiştir. Üç-kubit ({\em three-qubit}) dolaşık durumlar, yerel işlemler ile birbirine dönüştürülemeyen, iki farklı sınıfa ayrılmaktadır: Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) durumu, $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{000}+\ket{111})$, ve $W$ durumu, $\frac{1}{\sqrt{3}}(\ket{001}+\ket{010}+\ket{100})$. Tezin beşinci bölümünde, ilk olarak, üç-kubit saf durumun optimal manipülasyonu problemi için çözümler sunulacaktır. Öncelikle üç kubite ait üniter dönüşümlerden bahsedilerek üç-kubit saf durumun kanonik halinin diğer bir formu elde edilmiştir. Bunun ardından, üç-kubit için yerel kuantum ölçüm operatörlerinin genel formu bulunmuştur. Saf GHZ durumunun elde edilmesi için bir yöntem önerilmiştir. Bu yöntem kullanılarak GHZ durumunu elde etme olasılığı ve bu dönüşümü gerçekleştirem ölçüm operatöleri üç-kubit sisteminin değişmezleri cinsinden elde edilmiştir. Bu bölüm, hem saf $W$ hem de saf GHZ durumlarından kendi sınıfları içindeki durumlara deterministik geçişlerini sağlayan operasyonların elde edilmesiyle sonlanacaktır. Son bölümde yıllarda oldukça popülerlik kazanmış bir diğer önemli klasik olmayan ilintililiğe--kuantum uyuşmazlık--değinilmiştir. Bir sisteme ait kuantum uyuşmazlık, ortak bilginin ({\em mutual information}) $I(A:B)=S(\rho_A)+S(\rho_B)-S(\rho_{AB})$ ve $J(A:B)=S(\rho_B)-S(B|A)$ iki farklı tanımı arasındaki fark olarak tanımlanmaktadır: $\mathcal{D}=I(A:B)-J(A:B)$. Klasik bilgi teorisinde ortak bilginin bu iki tanımı birbirine eşdeğerdir. Diğer bir ifadeyle, klasik bilgi teorisinde $I(A:B)-J(A:B)=0$ olmaktadır. Ancak, kuantum mekaniğinde bir kuantum durumu üzerinde yapılacak ölçümler o kuantum durumunu değiştirdiği için kuantum enformasyon teorisinde ortak bilginin bu iki tanımı arasındaki fark genel olarak sıfırdan faklı bir değer vermektedir. Kuantum uyuşmazlık, dolaşıklığı da kapsayan bir kuantum ilintiliktir. Birçok kuantum bilgi işleme süreçlerinde, dolaşık olmayan ve sıfırdan farklı kuantum uyuşmazlığa sahip durumlar, diğer bazı kuantum uyuşmazlık miktarı sıfır olan durumlara göre daha yüksek performans göstermektedir. Bunun yanı sıra, yerel operasyonlarla dolaşıklık yaratılamayacağını biliyoruz. Diğer bir ifadeyle dolaşık olmayan kuantum durumları yerel operasyonlar altında ayrık kalmaya devam ederler. Ancak bu durum discord için geçerli değildir. Klasik ilintiliğe sahip durumları kullanarak, yerel operasyonlarla, kuantum ilintililiğe--kuantum uyuşmazlık--sahip durumlar elde etmek mümkündür. Tezin bu bölümünde, başlangıç aşamasında sıfır kuantum uyuşmazlığa sahip olan ({\em zero discord}) bir durumdan sıfırdan faklı bir uyuşmazlık değerine sahip ({\em nonzero discord}) olan diğer bir duruma, örneğin $\rho_{W_{1/3}}=\frac{1}{3}\ket{\psi^{-}}\bra{\psi^{-}}+\frac{1}{6} I_4$ ($\ket{\psi^{-}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}-\ket{10})$, $I_4$ ise $4 \times 4$'lük birim matris), geçişi sağlayan yerel operasyonlar üç yöntem ile sunulmuştur. Bu bölümde sunulan hesaplar, sadece tek bir durum için değil tüm dolaşık olmayan ve sıfırdan farklı kuantum uyuşmazlık değerine sahip olan Werner durumlarının elde edilmesi için uygulanabilmektedir.
Özet (Çeviri)
This thesis is about the deterministic and probabilistic transformations of (some of) the non-classically correlated states. Non-classical correlations which will be discussed here, entanglement, quantum coherence, and quantum discord, are used as a resource in many information processing tasks. In order to increase the success probability of the information processing tasks, it is rather important to convert a non-classically correlated state into a better one in the same class by local quantum operations. In Ch. 2 two explicit protocols for the deterministic transformations of coherent states under incoherent operations are presented. First, a permutation-based protocol which provides a method for the single-step transformation of $d$-dimensional coherent states is proposed. Generalized solutions of this protocol for some special cases of $d$-level systems are obtained. Then, an alternative protocol is presented where we use $d'$-level ($d'$ $<$ $d$) subspace solutions of the permutation-based protocol to achieve the complete transformation as a sequence of coherent state transformations. In Ch. 3, in a similar manner, deterministic transformations of pure bipartite entangled states is discussed. The results, obtained for the deterministic transformations of coherent states under incoherent operations, can easily be adapted to $d$-level bipartite entangled pure state transformations. Various illustrative examples both to demonstrate the adaptability of our results to the deterministic transformations of entanglement and to enhance the intelligibility of our method are given. One of the most important things to bear in mind is that majorization is essential for these deterministic transformations. The problem of distilling as much entanglement (coherence) as possible from a given pure state by means of a probabilistic protocol using local operations and classical communication (incoherent operations) is of fundamental importance. Instead of aiming at a single output state, however, one can consider a discrete class of states as targets, namely that formed by all maximally entangled states (coherent states) of any possible local dimension $q$. In this sense, in Ch. 4, an optimal probabilistic protocol to distill quantum coherence is presented. Inspired by a specific entanglement distillation protocol, our main result yields a strictly incoherent operation that produces one of a family of maximally coherent states of variable dimension from any pure quantum state. We also expand this protocol to the case where it is possible, for some initial states, to avert any waste of resources as far as the output states are concerned, by exploiting an additional transformation into a suitable intermediate state. These results provide practical schemes for efficient quantum resource manipulation. It is well known that quantum states that can be transformed into each other by local unitary transformations are equal from the information theoretic point of view. This defines equivalence classes of states and allows one to write any state with the minimal number of parameters called the canonical form of the state. In this context, in Ch. 5, we define the equivalence classes of local measurements for three-qubit entanglement manipulation such that local operations which transform states from one equivalence class into another with the same probability are equivalent. This equivalence relation allows one to write the operators with the minimal number of parameters, which we call canonical operators, and hence the use of the canonical operators simplifies the optimal manipulation of quantum states. The canonical local operators for the concentration of three-qubit Greenberger-Horne-Zeilinger states is used, and the optimal concentration protocols in terms of the unitary invariants of quantum states, namely, the bipartite concurrences and the three-tangle are obtained. Then, an explicit protocol for the deterministic transformations of three-qubit pure states by local operations and classical communications is proposed. Quantum discord can be used as a resource for some information processing tasks. In this context, Werner states are the most studied quantum states. In Ch.6 three procedures to obtain the separable Werner states which have nonzero discord are introduced. The general idea is simple, and the following. In the first stage, we have a classically correlated state in our hand. Then, we perform some local operations, where our primary aim is to obtain these local operations, on subsystems of the initial state. After completing the whole process, a nonzero discord Werner state is acquired.
Benzer Tezler
- Şaraplarda spektrofotometrik yöntemle kükürt dioksit ve toplam antioksidan tayini
Determination of sulphur dioxide and antioxidants in wine by spectroscopic methods
SELDA ALVAN
- Katmanlı kompozit panellerin anlık basınç yüküne dinamik cevabı
Dynamic response of laminated composite panels subjected to blast loading
HALİT S. TÜRKMEN
Doktora
Türkçe
1997
Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ZAHİT MECİTOĞLU
- Kent bilgi sistemlerinin tasarımı ve gerçekleştirilmesi: Ankara kent bilgi sistemi oluşturma çalışması
Başlık çevirisi yok
ATİLLA KOPAR
- Taşkın modellemede LiDAR verisi ile performans analizleri
Performance analyses with with LiDAR data in flood modelling
HAKAN ÇELİK
Doktora
Türkçe
2017
Jeodezi ve Fotogrametriİstanbul Teknik ÜniversitesiGeomatik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HİLAL GONCA COŞKUN
- Greybody factor for rotating linear dilaton black holes
Dönen lineer dilaton kara deliklerde gri cisim faktörünün hesaplanması
AYCAN ALPTEKİN
Yüksek Lisans
İngilizce
2018
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. NEŞE ÖZDEMİR