Yüksek mertebeden süreksiz katsayılı adi lineer diferensiyel denklemlerin spektral özellikleri
Spectral properties of higher order linear differential equations with discontionuous coefficients
- Tez No: 457709
- Danışmanlar: PROF. DR. ANAR ADİLOĞLU
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2017
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Cumhuriyet Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi matematiksel fiziğin çeşitli problemlerinin Fourier , Fourier-Birkhoff ve Laplace metodları gibi değişik yöntemlerle çözülmesinde önemli role sahiptir. Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi XX. yüzyılın ilk yarısından itibaren Birkhoff, Weyl, Hilbert, Neumann, Steklov, Tamarkin gibi ünlü matematikçilerin çalışmaları hızla gelişmeye başladı. Diferansiyel operatörlerin spektral teorisinin temel problemleri arasında spektrumun incelenmesi ve verilen fonksiyonun diferansiyel operatörün özfonksiyonları cinsinden seriye açılması gibi fizik ve mekanik alanlarında uygulamaları açısından da öneme sahip olan problemler yer almaktadır. Biz bu tezde süreksiz katsayılı yüksek mertebeden adi lineer diferansiyel denklemin ürettiği sınır değer probleminin spektral özelliklerini incelemekteyiz. Tezin ilk bölümünde yüksek mertebeden adi lineer diferansiyel denklemler ile ilgili spektral teorideki klasik gelişmelerden ve temel kavramlardan bahsedilmiştir. Tezin ikinci bölümünde katsayıları kompleks parametreye polinomsal bağlı yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklem ve spektral parametreye polinomsal bağlı sınır koşullarından oluşan ve homojen olmayan sınır değer probleminin çözümü Green fonksiyonu yardımıyla ifade edilmiş, homojen denklemin temel çözümler sistemi için asimptotik ifadeler, aynı zamanda Green fonksiyonunun paydasının spektral parametrenin modülce büyük değerleri için asimptotik ifadeleri elde edilmiştir. Daha sonra bazı regülerlik koşullarının sağlanması durumunda ilgili homojen sınır değer probleminin özdeğerlerinin sayılabilir olduğu gösterilmiş ve bu özdeğerler için karmaşık düzlemin ilgili dilimlerinde asimptotik ifadelere ulaşılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde süreksiz katsayılı yüksek mertebeden homojen lineer diferansiyel denklemin temel çözümlerinin asimptotik formülleri bulunmuş ve (d^n y^((i) ))/〖dx〗^n +p_1^((i) ) (x) (d^(n-1) y^((i) ))/〖dx〗^(n-1) +⋯+p_n^((i) ) (x) y^((i) )-λ^n y^((i) )=f_i (x), (1) a_i<x<b_i (i=(1,m)) ̅ L_k y≡∑_(i=1)^m▒〖L_k^((i) ) (y^((i) ) ) 〗= ∑_(i=1)^m▒∑_(l=0)^(n-1)▒(α_kl^((i) ) (λ) ├ (d^l y^((i) ))/〖dx〗^l ┤|_(x=a_i )+β_kl^((i) ) (λ) ├ (d^l y^((i) ))/〖dx〗^l ┤|_(x=b_i ) ) =0 (2) k=(1,nm) ̅ şeklinde spektral problemin Green fonksiyonu yardımı ile çözümü elde edilmiştir. Burada p_k^((i) ) (x),f_i (x) (i=(1,m) ̅) fonksiyonları (a_i,b_i) aralığında sürekli fonksiyonlar α_kl^((i) ) (λ),β_kl^((i) ) (λ) λ kompleks parametresine bağlı polinomsal fonksiyonlardır. (a_i,b_i ) (i=(1,m) ̅) aralıkları birbiri ile kesişmeyen ortak uç noktalarına sahip ve [a_1,b_n ] sonlu aralığına ait alt aralıklardır. Ayrıca bu bölümünde (1)-(2) probleminin Green fonksiyonunun paydası için asimptotik ifadelerden yararlanarak ilgili homojen problemin özdeğerleri için asimptotik formüller elde edilmiştir.
Özet (Çeviri)
The spectral theory of differential operators has an important role in solving different problems of mathematical physics by using classical methods as the Fourier method, the Fourier-Birkhoff method and the Laplace transform method . From the first half of the XX century spectral the theory of operators rapidly began to develop with the works of such famous mathematicians as Birkhoff ,Weyl, Hilbert, Neumann,Steklov. In the spectral theory of differential operators, such problems as an examination of the spectrum and the series expansions of a given function according to the eigenfunctions of differential operators are important problems with applications in the fields of physics and mechanics. In this thesis we investigate in a finite interval the spectral properties of the boundary value problem generated by higher order linear differential equations with piece-wise continuous coefficients In the first chapter we discuss the classical developments in the spectral theory and the basic notations. In the second chapter with help of the Green function we express the solution of the inhomogeneous boundary value problem generated in a finite interval by high order linear differential equation with coefficients depending polynomial on the complex parameter and boundary conditions also polynomial depending on the spectral parameter. We also obtain the asymptotic formulas for the fundamental system of solutions of the homogenous equation and for the denominator of the Green function with large values in module of the parameter. Then under some regularity conditions we show the existence of countable number of eigenvalues of the related homogenous problem and we reach the asymptotic formulas for the eigenvalues in suitable sectors of the complex plane. In the third section of the thesis we obtain the asymptotic formulas for the fundamental system of solutions of the homogenous high order linear differential equation with discontinuous coefficients and we get the solution of the spectral problem (d^n y^((i) ))/〖dx〗^n +p_1^((i) ) (x) (d^(n-1) y^((i) ))/〖dx〗^(n-1) +⋯+p_n^((i) ) (x) y^((i) )-λ^n y^((i) )=f_i (x), (1) a_i<x<b_i (i=(1,m)) ̅ L_k y≡∑_(i=1)^m▒〖L_k^((i) ) (y^((i) ) ) 〗= ∑_(i=1)^m▒∑_(l=0)^(n-1)▒(α_kl^((i) ) (λ) ├ (d^l y^((i) ))/〖dx〗^l ┤|_(x=a_i )+β_kl^((i) ) (λ) ├ (d^l y^((i) ))/〖dx〗^l ┤|_(x=b_i ) ) =0 (2) k=(1,nm) ̅ with the help of the corresponding Green function. Here the functions p_k^((i) ) (x),f_i (x) (i=(1,m) ̅) are continuous on the interval (a_i,b_i) and the functions α_kl^((i) ) (λ),β_kl^((i) ) (λ) are polynomials depending on the spectral parameter. Moreover, in this section, the asymptotic formulas for the eigenvalues of the related homogenous spectral problem are obtained by the help of the asymptotic formulas for the denominator of the Green function.
Benzer Tezler
- Süreksiz katsayılı sınır değer probleminin özdeğer ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadesi
Asymptotic formules of eigenvalues and eigenfunctions of noncontinuous coefficient boundary value problem
DİLAVER AYDIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
MatematikOndokuz Mayıs ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. NİHAT ALTINIŞIK
- Geçiş şartlı süreksiz sınır değer probleminin özdeğerleri ve özfonksiyonları için asimptotik açılım formülleri
Asymptotic expansion formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the discontinious boundary value problem with transmission condition
HÜLYA GÜLTEKİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
MatematikOndokuz Mayıs ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. NİHAT ALTINIŞIK
- Birleştirilmiş geçiş şartlı süreksiz sınır değer probleminin özdeğer ve özfonksiyonlarının asimptotik açılımları
Asymptotic expansions of eigenvalues and eigenfunctions of the discontinuous boundary value problem with coupled transmission conditions
FATMA HIRA
Yüksek Lisans
Türkçe
2009
MatematikOndokuz Mayıs ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. NİHAT ALTINIŞIK
- Lineer diferensiyel denklem, sınır şartları ve geçiş şartlarının ürettiği diferensiyel operatörünün özdeğerleri
Linear differential equation, the eigenvalue of differential operator produced by boundary and transmission conditions
HALİME OKUDUCU
Yüksek Lisans
Türkçe
2003
MatematikGaziosmanpaşa ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. OKTAY MUHTAROV
