Geri Dön

Kontrol ağlarının ölçüt matrisleri ile ağırlık ve ölçü planı optimizasyonu

Gewichtund beobachtungsplanoptimierung der kontrollnetzen durch die kriteriummatrizen

  1. Tez No: 39295
  2. Yazar: CİHANGİR ÖZŞAMLI
  3. Danışmanlar: PROF.DR. TEVFİK AYAN
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Jeodezi ve Fotogrametri, Geodesy and Photogrammetry
  6. Anahtar Kelimeler: Grafik teorisi, Jeodezik ağlar, Matrisler, Graph theory, Geodetic networks, Matrices
  7. Yıl: 1994
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

ÖZET Jeodezik ağların günümüzdeki işlevi harita üretimine altlık oluşturma amacını asmıştır. Günümüzde özellikle deformasyon amacına yönelik çalışmalarda jeodezik ağlar kurulmaktadır. Bu tür ağların önemli bir özelliği de çok sayıda ölçü elemanı içerebilmesidir. Bu özellik de, ölçü elemanlarının optimal olarak seçimini gündeme getirmektedir. Diğer yönden bir jeodezik ağdan beklenen amaçların gerçeklenmesi ; tasarım aşamasında ağın varyans-kovaryans matrisinin taşıması gereken özelliklerin tasarıma yansıt ılabilmesine bağlıdır. Bu nedenle ağın amaç fonksiyonu olarak ideal bir matrisin alınması uygulamada önemli bir gereksinimi sağlar. Bu matris ölçüt Matrisi ve bu matrise dayalı olarak oluşturulan optimizasyon düzenleri ölçüt Matrisleri ile Optimizasyon olarak isimlendirilmektedir. Geleneksel anlamdaki ölçüt matrislerinde ağ noktaları arasındaki ilişkiler, korelasyon fonksiyonları ile ifade edilir. Ancak ağ noktaları arasındaki korelasyonların, korelasyon fonksiyonları ile gerçekçi bir biçimde ifade edilmesi olanaklı olmamakta, ağ noktaları arasındaki komşuluk ilişkileri korelasyonları ifade etmede daha güçlü bir yol olarak ortaya çıkmaktadır. Komşuluk ilişkilerinin sayısal olarak ifadesi Çizge Kuramı (Graphen Theorie) ile olanaklı olmaktadır. Çalışma, şekil ve ağırlık dağılımı üzerindeki incelemeler bazında yoğunlaştırılmış, optimal ölçü planı ise optimal ağırlık dağılımı probleminin genişletilmesi doğrultusunda elde edilmiştir. Bu amaçla, en geniş ölçü planından hareketle amaç fonksiyonunu gerçekleyen ölçü ağırlıkları hesaplanmış, amaç fonksiyonuna katkısı olmayan ölçülerin ölçü planından çıkarılması yoluna gidilmiştir. Uygulamalar, farklı amaçlar için oluşturulmuş iki test ağı üzerinde gerçekleştirilmiştir. Sonuçta elde edilmiş olan ağ tasarımları kendilerinden beklenen amaçları karşılayacak düzeyde ve oldukça ekonomik bir yapıdadır.

Özet (Çeviri)

GEWICHTS- UND BEOBACHTUNGSPLANOPTIMIERUNG DER KONTROLLNETZEN DURCH DIE KRITERIUMMATRIZEN ZUSAMMENFASSUNG Die Frage nach dem zweckmaBigsten Aufbau eines geodâti- schen Netzes ist eine der Standardf ragen der Geodâsie. Mit der Anlage bzw. Erweiterung von geodâtischen Netzerı sind oft recht unterschiedliche Absichten und Zielsetzungen vei - bunden, die in der Wiederspruch zueinander stehen. Die geodâtische Netzoptimierung umfafit grundsâtzl ich folgende drei Probleme. Ein geodâtisches Netz sollte so entworfen werden, - daB es die gewlinschte Genauigkeit beliebiger im Netz ent- haltener GrbBen zu realisieren vermag, - daB es die Aufdeckung von groben Messungsf ehlern weitge- hend ermb'glich wird, - daB sich seine Anlage und die Durchf lihrung der Messungen mbglichst wirtschaf tlich gestaltet. Netzopt imierungsproblem wurde von Grafarend in vier ver- schiedene Ordnungen unterteilt, die sich anhand der freien Parametern einer Ausgleichung nach vermittelnden Beobach- tungen sehr gut beschreiben lassen. Design O.Ordnung: Hier wird es angenommen, Konf igurat ion, Punktlage und Beo- bachtungsgewichte des Netzes bekannt zu sein und wird das Datum gesucht, das die Zielfunktion erfiillt. Wenn es als Zielfunktion Iz(Q ) - > min. angenommen wird, entspricht Design O.Ordnung eine freie Netzausgleichung. Design 1. Ordnung : Unter dem Design l.Ordnung versteht man die Lageoptimierung der Netzpunkte und die optimale Beobachtungsplan, d.h. die optimale Netzkonf iguration, wobei zu erwartende MeSgenauig- keit und das Datum vorgegeben sind. Freie Parameter des Netzes ist Designmatrix A. Design Matrix A enthâlt Inf ormationen liber die Punktlagen und die VIgeodâtische Punktverbindungen. Deswegen enthâlt Design 1. Ordnung zwei verschiedene Probleme, wie Bestimmung der Punktlagen der Netzpunkte und die optimale Beobachtungs- plan. Design 2. Ordnung : Das Problem beim Design 2. Ordnung besteht die Frage in den optimalen Beobachtungsgewichten öder -genauigkeiten. Für eine vorgegebene Konf iguration sind die Genauigkeiten der im Netz auszuf ührenden Beobachtungen so festzulegen, daB die in der Kof aktormatrix (A T PA) ~ niedergelegten Forderun- gen bestmöglich erfüllt werden. Design 3. Ordnung : Die Problemstellung beim Design 3. Ordnung ist def iniert als die optimale Verbesserung eines bereits existierten oder geplanten Netzes durch Einschaltung zusâtzlicher Punkte und/oder Hinzufiigen neuerer Beobachtungen. Bei der Optimierung geodâtischer Netzen können die Ziel- setzungen in einer Matrix formulierten werden. Diese Matrix nennt man als Kriteriummatrix und ist Zielfunktion in Optimisationsvorgang. In dieser Arbeit wurden die Kriteriummatrizen als Zielfunktion verwendet, und die skalare Zielf unktionen nicht einbezogen. Kriteriummatrizen stellen den Versuch dar, das Genauig- keitsverhalten der Punktkoordinaten, d.h. Varianzen und Kovarianzen, in einem ebenen geodâtischen Netz durch funk- tionale Beziehungen zu beschreiben. Als ideal isierte Va- rianz-Kovarianzmatrix der Koordinatunbekannten erscheinen sie besser als skalare Genauigkeitsmafie geeignet, den Ge- nauigkeitszusammenhang eines Punkthaufens zu characterisie- ren. In der Praxis wurden Kriteriummatrizen mit dem Taylor- Karman (TK)-Struktur bei der Optimierung hâufig verwendet. Dabei wurden die Korrelationen zwischen den Netzpunkte mit den Korrelationsf unktionen (Bessel Modeli) und anhand der characteristischen Distanz beschreibt. Für die Elemente der TK-Matrizen gilt es, qYiyj - ?j.(r) + [$L(r) - $r(r) ] sin2 t±j VxlXj = *r(r) + [+£(r) - <j>r(r)]cos2ti:,. QxlXl“ <Zy±yi ”Oxm“ Gjp3 ”4>(0) - 1 VllHierbei sind, 4>T (r), <|>L (r) : Quer- und Lângskorrelat ionsf unkt ionen ty : Richtungswinkel r : Distanzen ziischen den Punkten Wenn man statt der unterschiedlichen Langs- und Quer- korrelat ionsf unkt ionen nur noch eine Funktion, z.B. mittlere Funktion.(r) - <J>r(r) + $L(r) nimmt, entsteht Vollstandig-Isotrope Struktur (VI) als ein Sonderfall der TK-Struktur: q*i *rqyx y±“qx, *3mqyi yj°* (0) ”1 Bei Der Erzeugung die TK- und VI-strukturierte Kriterium- matrizen wird Korrelationsf unktionen verwendet, die nur abhângig von den Punktabstânden sind, wobei die Beobach- tungsplan unberlicksichtigt bleibt. In dieser Arbeit wurde eine neue Kriteriummatrix angeboten, die auch den Beobach- tungsplan mitberücksichtig. Bei der Erzeugung dieser Krit eriummatrix wurde Graph-Theory auf der Basis klirzeste Wege-Algorithmus (Dijsktra Algorithmus) verwendet. Aile Kriteriummatrizen sind zunâchst einmal regular und besitzt kenerlei Datumsinf ormationen. Es ist aber zweck- mafiig und sinnvoll, Kriteriummatrizen flir die Gewichtsopti- mierung eines freien Netzes mit dem Defekt d zu singulari- sieren, d.h. in den Defekt d zu transf ormieren, und mit einem Datum zu versehen. Für diesen Zweck werden die Kriteriummatrizen durch S-Transf ormat ion singularisiert. Die allgemeine Zielzetsung beim Gewichtsopt imierung bezüg- lich Kriteriummatrizen besteht darin, bei vorgegebener Netzkonf iguration die unbekannte Gewichtsmatrix die vorge- gebene Kriteriummatrix bestmöglich approximiert. Für die Lösung dieses Problems wurde zahlreiche Verfahren vorgesch- lagen. In dieser Arbeit wurde U,m Verfahren als Lbsungs- verfahren verwendet, das eine von Kleinste-Quadrate Lbsun- gen ist. Diese Problemstellung fuhrt auf folgende Grundgleichung (ATPA)-»0« Flir diese Gleichung existiert insbesondere unter der Vor- aussetzung einer diagonalen Gewichtsmatrix (unkorrel iertes Design) im allgemeinen keine konsistente Lbsung für die Unbekannte P. vmDie Bildung der Inversen (A T PA)“ verhindert eine direkte Auflösung nach der gesuchten Matrix P. Deshalb wird fur die U,m Verfahren die Beziehung (AT PA) -££* als Basisgleichung verwendet. Die Basisgleichung lâBt sich unter Verwendung des Khatri-Rao Produktes ”O“ in das lineare inkonsistente Gleichungssystem überführen. (ATQ AT) p = q Im obigen Gleichungssystem sind p und q Vektorabbildungen der Matrizen P und (Qxx)~. Der Vektör p nent man als p-=vecd (P) und enthâlt die Diagonalelemente von P. q ist ein Vektör, der sich aus der zeilenweisen Abbildung der Matrix (Qxx)”ergibt. Durch die Einführung sogenannter Inkonsistenzparameter entsteht folgende konsistente Gleichungssystem: {AT O AT) p - q + z Die Lbsung fiir die unbekannte Gewichte ergibt sich Uber den Ansatz einer kleinste Quadrate Approximation der inversen Kriteriummatrix unter der Minimumsbedingung. r T r-min. Fur das Optimierungsnormalgleichungssystem erhâlt man (AA T* AA T) p - (A T O A T) T q- 0 wobei mit“ Jr”wird Hadamart-Produkt bezeichnet. Für einzelne Komponenten des Lösungsvektor p können sich negative Gewichte ergeben, weil der Lösungsvektor nur aus der Forderung rr -> Min. abgeleitet und die Lösungsmenge nicht durch zusâtzliche Bedingungen wie z.B. p>0 einge- schrânkt wird. Treten negative Gewichte auf, so wird die- jenige Beobachtung mit dem betragsmâBig gröfiten negativen Gewicht aus dem Beobachtungsplan gestrichen und dieser Vor- gang wird solange wiederholt, bis aile Komponenten des Lö- sungsvektors positiv sind. Im zweiten Schritt der U, m-Verf ahren erfolgt eine lineare Transformation des Gewichtswektor p, pt - X p ıxDen Faktör X des Tranf ormations ist so zu bestimmen, daB die Quadratsumme der Dif ferenzen zwischen den Elementen der Inversen der Normalgleichungsmatrix und der vorgegebenen Kriteriummatrix minimal wird: f(k) = Iz{[±(AT PA)~ - 0X3f]*[^-UrPA)- - <?“]}- min. Für den Normierungsf aktör A gilt, A_ eT[(ATPA)-+(ATPA)-]e _ iz [ (ATPA) ~ (ATPA) ~] eT[(ATPA)~İtQxxl ”IzliA^-O^] Das entscheidende MaB zur Beurteilung der Anpassungsgüte ist die Residuen quadratsumme r r zwischen Kriteriummatrix und effektiver Kof aktorenmatrix. In ailen Lösungen, die in dieser Arbeit ausgeführt werden, wurde U,m Verfahren ver- wendet. Die in der Vergangenheit entwickelten Optimierungstrategien für geodâtische Netze sind auf die Behandlung freier Netze beschrânkt. Um jedoch auch Verdichtungsnetze als Optimie- rungsobjekte behandeln zu können, wurde ein umfassendes Konzept zur Optimierung beliebig angeschloBener Netze erar- beitet. Die Ansâtze zur Lösung dieser Aufgabe orientieren sich an den bekannten Modellen zur Ausgleichung von Ver di eh t ungsnetzen. Optimierung von Verdichtungsnetzen wurde anhand der Stlitz- punkte als zwei verschidene Art berlicksichtigt : Angesch- lossenes Netz mit Festpunkten und Angeschlossenes Netz mit stochastischen Anschluflpunkten. im Modeli mit dem Festpunkt werden AnschluBpunkte in die Optimierung als feste Parame- tern eingefiihrt. In den Kriteriummatrizen ist keinerlei Information für diese Punkte. Wird für die AnschluBpunkte stochastische Vorinf ormationen berücksichtigt, so wird Kriteriummatrizen für aile Punkte wie freie Netze erzeugt aber werden stochastische Vorinf ormationen aus der Kri teriummatrix subtrahiert. Bei der Optimierung (oder Ausgleichung) von geodâtischen Netzen mit stochastischen AnscluBpunkte ware es für prak- tische Anwendungen wunschenstwert, als stochastisches Vor inf ormation die Inverse der Kof aktormatrix der Koordinaten aus einer vorangegangenen Ausgleichung zu verwenden. Diese Inf ormationen sind allerdings in den wenigsten Fallen vei - fügbar, da im allgemeinen Ergebnisse für Realnetze nur in Form von Koordinatenverzeichnissen vorliegen. Deshalb ist man hâufig gezwungen, an Stelle der Kof aktormatrix eine idealisierte Ersatzmatrix (Kriteriummatrix) zu verwenden. Auch in dieser Arbeit wurde diesen Weg verfolgen. Zuerst wurde für die stochastische AnschluBpunkte ein Kriterium matrix berechnet und wurde dieser Matrix als stochastisches Vorinf ormation verwendet.In dieser Arbeit wurde ein umfangreiche Rang-Analyse liber die Optimierungsnormalgleichungsmatrix ausgef iihrt. Es wird diese Untersuchungen gezeigt, da6 im Falle freie Netze Op- timierungsnormalgleichungsmatrix immer regular ist. Aber es kann im Falle angeschloBenes Netz mit festen Punkten singular sein. Bei der Lösungen, die in dieser Arbeit eingeflihrt wurden, wurden zwei verschiedene Test-Netzen verwendet, das geodâ- tische Netz in Taskesti (Testnetz-I) und die Verdichtungs- netz 3.0rdnung in Prinzinseln(Testnetz-II ). Testnetz-I wurde in Bolu-Mudurnu Tal im Rahmen“Gemein- sames Turkisch-Deutsches Projekt fiir Erdbeben-Forschung”auf gebaut. Messung des Netzes wird sich jedes Jahr perio- disch wiedergeholt und die Lageânderungen der Netzpunkte untersucht. Das Netz enthâlt 14 Punkte, die als MeBpfeiler vermarkt werden, es hat eine Ausdehnung von 7x7 km erreicht. Die Testnetz-II wurde im Jahre 1984 fiir die Verdichtung nationales Grundnetzes zum Zweck topographischer Aufnahme mit den 15 Punkte von I.T.U. auf gebaut. Bei aller Lösungen, die fiir die beide Test-Netz ausgef iihrt wurden, wurde zuerst eine Konf igurationsoptimierung reali- siert, indem fiir alle Messungen individuelle Gewichte ak- zeptieren. So wurde es zu Optimal Messungsplan erreicht und dann mit einem zweiten Schritt wurde Gewichtsoptimie- rung liber diesen optimale Beobachtungsplan durchgef Iihrt, indem fiir die Richtungsbeobactungen auf einem Punkt Grup- pengewichte angenommen wird. Bei der Konf igurationsoptimierung mit dem Gewichtsopti- mierung wird an die Richtungsbeobachtungen als Azimut be- handelt. Bei der Einfiihrung von Induvidialgewichten fiir jede Richtungsbeobactungen dlirfen keine beidseitige Richtungen vorhanden sein, da gegenseitige geplante Richtungen einen Rangdefekt zur Folge haben. Bei der Gegenüberstellung von OptimisationsergebniBe wurde drei Kriteren zusammen mit den Punktf ehlerellipsen verwendet. T r r : Quadratsumme der Residuen zwischen Kriterium- matrix und realisierter Kof aktormatrix. A(A.B): Unterschied zwischen den geforderten und reali- sierten Durchschnittswerten fur das Produkt A.B wobei A und B fiir die Halbachsen der mittleren Fehlerellipsen stehen. A(A/B): Unterschied zwischen den geforderten und reali- sierten Durchschnittswerten fiir das Verhâltnis A/B. xiDie Zusammmenf assung der verwirklichtene Lb'sungen des Test- netz-I wurden in der Tabelle i gegeben. Hier ist m, die Anzahl der im Beobachtungsplan verbleibende Strecken, in den letzten Spalte n wurden die Anzahl der Richtungsbeo- bactungen sowie die erf orderliche Anzahl die Sâtze gegeben. Tabelle 1. Taskest i-Netz. Kontrolle Kriterien fur die Gewichtsoptimierung (Erzielte Genauigieit A=B={2 db.) Aus der Tabelle kann man einfach ableiten, daB man die Abweichungen der Ergebnisse verschiedener Optimisations- strategien kleine Betrâge angesehen werden dlirfte und daB man Zielfunktion erfüllt betracten kann. AuBerdem ist die letzte Strategie, d.h. V-I Struktur, der aus der Graphen- theorie stammt, die beste Lösung, da es bei dieser Lösung sowohl weniger Messungsanzahl als auch niedrige MeBgenau- igkeit flir die gleich bedeutende Zielfunktion benbtigt wird. In der Tabelle 2. wurden flir das Testnetz-II die ErgebniBe zusammengef afit. Tabelle 2. Testnetz-II. Kontrolle Kriterien flir die Konf igurations- und Gewichtsoptimierung (Erzielte Genauigkeit A=B='{2 cm.). Hier ist maximale Abweichung um c.a. %9 und mit diesem Wert dlirfte die Zielfunktion völlig erflilt angesehen werden. XII

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