Geri Dön

Helisel çubuklarda statik ve dinamik problemlerin karışık sonlu eleman metodu ile incelenmesi

Determination of statical and dynamic behaviour of helical bars by the mixed finite element method

  1. Tez No: 152354
  2. Yazar: OLCA OLGUN
  3. Danışmanlar: PROF.DR. MEHMET HAKKI OMURTAG, Y.DOÇ.DR. KONURALP GİRGİN
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2004
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

ÖZET Çubuk Geometrisi Bu araştırmada ele alınacak problemler uzay çubuk ortamından oluşmaktadır. Silindirik helisel çubukta çubuk eksenine bağlı olarak hareketli (t,n,b) ile sabit takım (i,j,k) arasındaki dönüşüm bağıntıları: i = - [R(ff>) I c(q>)\ sin(ç?) t - cos(ç?) n + [p(ç>) I c(ç>)] sin(ç>) b j = + [R(<p) I c(ç)] cos(ç?)t - sin(ç>)n - [p(ç) I c(<p)] cos(ç>) b k = -[p(<p)/c(<p)]t + [R(<p)/c(<p)]b (A.1) yada, t = -[R(ç>)/ c((p)] sin(p) i + [R(ç>) I c(ç>)] cos(<p) j + [p(<p) I c(pj\ sin(çj) k n = - cos(ç?) i - sin(ç3) j b =+[p(ç)/ c(<p)] sin(ç?) i - [p(ç>) I c(ç)] cos(ç?) j + [R(ç>) I c(<p)]k (A.2) şeklindedir. Burada R silindir yarıçapı, p birim açıda helisin adım yüksekliği, <p x ekseninden ölçülen açı ve c(<p) = ^ R2 (ç) + p2 (<p) d<p dir. Eğer helisin eğimine a dersek, p = R tan(a) biçiminde ifade edilir. Alan Denklemleri ve Fonksiyonel Bu araştırmada çubuk malzemesinin elastik, homojen ve izotrop olduğu; birinci mertebe kuranımın geçerli olduğu; çubuk kesitinde kayma ve geometrik merkezlerin çakıştığı; kesitin asal eksenleri ile çubuk eksenine bağlı (t,n,b) eksenlerinin aynı olduğu varsayılmıştır. Böylece çubuk ekseni üzerindeki bir noktanın yer değiştirmesi ile buradaki kesit dönmesi, u(5)=u,+uB+u6 ve si(s) = at+nn+ab dir. Burada s yay boyunca ark uzunluğudur. Gerilme bileşkeleri, T(5) = T,+TB+Tİ ve M(s) = Mt + Mn + Mb (A3) ıxolarak gösterilir. (A3) de T kuvvetleri, M momentleri gösterir. Şu halde uzaysal çubuğa ait hareket denklemleri, dT A- n dM * rr T~ np^4u + p = 0 ;+ txT-plSl+m-0 ds ds dir. Burada p elemanın öz ağırlığı olup, A kesit alam ve I atalet momentleri, A=\pdA, I = I9, Iv = jpx,XjdA (i*j), A A Inn = jp4dA, Ibb = jpx2“dA, Itt=Inn+Ibb, (A.4) >(i,j = t,n,b) (A.5) şeklinde hesaplanır. Kinematik denklemler, dîî ”du, _ nco = 0 ve - + txO~Y = 0 ds ds olup bünye bağıntıları, -M + Doo = 0 ve -T + Cy = 0 dır. (A. 7) de kaymaya ve dönmeye karşı gelen rijitliklerin tersi, C = k/GA 0 0 0 k'/GA 0 0 0 1/EA ve D = \IEIb 0 0 0 \IEIn 0 0 0 1/EL (A.6) (A.7) (A.8) dır. Daha sonra yukarıdaki alan denklemleri ve fonksiyonel analizi yöntemi kullanılarak karışık sonlu eleman formülasyonu için uygun yapıdaki fonksiyonel, /<y)=- u, dT ds dM ds,Q + [txîî,T]- -i[d~1m,m]~|[ct1t,t] -İpV[u,u]-ipi//2[n,a] + (r-f),«l +|7m-m),q1 +[M,r]B+[Q,Af] (A.9) biçiminde elde edilmiştir. Denklem (A.9) da, e ve a alt indisli terimler sırasıyla geometrik ve dmamik sınır koşullarım tanımlamaktadır.Sonlu Elemanlar Formülasyonu u yer değiştirme, Cl dönme, M moment ve T kesme kuvveti değerleri bilinmeyenler olup üç boyutlu koordinat takımında her düğüm noktasında 12 adet bilinmeyen bulunmaktadır. Bunlar ut = ^.=1WtWj>...> olacak biçimde doğrusal verilmiş yaklaşım fonksiyonları kullanılarak, 1 x y/x=-(L-x) ve y2=- (A.10) ile ifade edilecektir. (A.10) da L sonlu çubuk elemanının boyunu ifade eder. Böylece çubuk elemanı içinde herhangi bir noktadaki değişkenler, u=ulxı/x+u2y/2 # T = Tlı^l+T2y/2 1 Q^Qy/.+Qy/i ' M=Mxy/x+M2y/2 J biçiminde tanımlamr. Daha sonra eleman matrisi ke ile kütle matrisi me üretilir. Sistem matrisi K ve sistem kütle matrisi M de kodlama tekniği ile ke ile me den elde edilir. Dinamik Analiz Tek serbestlik dereceli sistemlerde serbest titreşim eşitliği aşağıdaki gibi yazılabilir: mx + kx = 0 (A.12) Bunun harmonik titreşimlerine ait çözümü, x = asm({it) (A. 13) şeklindedir. Şimdi (A.12) de (A. 13) yerleştirilirse, (k-{i2m)a = 0 (A.14) elde edilir. Çok serbestlikli sistemlerde (A.14) bir denklem takımı olarak, ([K]-//2[M]){w} = {0} (A.15) biçiminde karşımıza çıkar ve bir özdeğer problemine dönüşür. Denklem takımı (A.15) in bir çözümünün olabilmesi için katsayılar determinantı sıfıra eşit olmalıdır. Aksi durum trivial çözümdür. Burada ju çubuğun serbest titreşim frekansı, w (u, Q) ise yer değiştirme/dönme tipinde bir kolon vektördür. Karışık sonlu elemanlar yönteminde (A.15) in açık yazımı: xı/T \U [K“] [K12] [K21] [K22]j -M [0] [0]' [0] [m] (A.16) biçimindedir. (A.16) da {F} gerilmeler sonucu oluşan kuvvetler/momentlere ait kolon vektör olup indirgeme yöntemi kullanılarak, problemin sınır koşullarına göre indirgenmiş denklem takımı: ([K']-^H){w} = {0} (A.17) şeklinde ifade edilir. (A.17) de [K'] = [K22]-[K12f [K,,]”1^] olup, [K*] a indirgenmiş sistem matrisi denir. (A.17) denklemi bir özdeğer probleminin çözümüyle hesaplanır. Bu çalışmada, helisel çubukların statik ve dinamik analiz problemleri karışık sonlu elemanlar formülasyonu ile çözülerek, analitik çözümlerle ve diğer yöntemlerden bulunmuş sonuçlarla karşılaştmlmıştır. Bu amaçla FORTRAN-90 dilinde yazılmış bir bilgisayar programı geliştirilmiş; programın doğruluğu ve hassasiyeti bilinen sonuçlarla karşılaştmlmıştır. Elde edilen sonuçlara göre karışık sonlu elemanlar yöntemi ile kurulan model, kullanılan diğer metotlara oranla deneysel ve teorik çalışmalarla elde edilen sonuçlara daha yakın değerler vermiştir. xıı

Özet (Çeviri)

SUMMARY The Rod Geometry The rod problems considered in this study are in the three dimensional space. The necessary transformations between unit vectors for Frenet (t,n,b) and Cartesian (i,j,k) system are: i = - [R(<p) I c{(p)\ sin(çj) t - cos(ç?) n + [p(<p) I c(ç>)] sin(ç?) b j = + [R(<p) I c(<p)] cos(ç?)t - sin(ç>)n - [p(<p) I c{<pj\ cos(#>) b \L = -[p(<p)/c(<p)]t + [R(<p)/c(<p)]b and the inverse transformations are: t = - [R(ç>) I c(<p)] sin(p) i + [R(ç>) I c(ç>)] cos(» j + [p((p) I c(ç)] sin(<p) k n = - cos(<p) i - sin(çj) j b = +[p(<p)/ c{cpj\ sin(ç>) i - [p(ç>) I c(<p)] cos(<p) j + [R(<p) I c{çj\ k (A.1) (A.2) where R is the radius of base circle, p represents step for unit angle, (p shows the dynamic rotation angle and c(<p) - ^R2 (ç) + p2 (<p) d<p. If a shows the slope of the helix, p is defined as p = R tan(a). Field Equations and Functional In this study several assumptions are made such as the rod material is ideally elastic, homogeneous and isotropic; there is one-to-one relationship between the state of stress and state of strain; the primary axis of the cross section of the rod coincides with the (t,n,b) coordinate axis. With these approaches, displacement and rotation of any point on the rod axis can be defined as: u(s) = u,+u"+u, and ft(s) = tot + Sln + ilb where s is the arc length along the curve. Similarly, force and moment resultants can be written as: T(*) = i;+i;+i; and M(5) = M,+MB+MJ (A.3) where T shows the force vector and M shows the moment vector. At this point equations of motion of the space rod is defined as:pAu+p = 0 ;+txT-pIÖ+m = 0 (A.4) ds ds xiuwhere p is the density of the material. If A is the cross-section area and I represents the rotary inertia, this parameters are expressed as: A=jpdA, 1 = 4, Iv = \px,XjdA (i*j), Inn = \pxl&A, Ibb = \px2nM, Itt=Inn+Ibb, Kinematical Equations are written as: d^ « j du _. _..co = 0 and - +txft-y = 0 ds ds and Constitutive Equations are written as: -M + Dca = 0 and -T + Cy = 0 In (A. 7) the inverses of shearing and rotating rigidities are defined as: C = >(i,j = t,n,b) (A.5) (A.6) (A.7) (A.8) Afterwards, by using the field equations (A.4), (A.6), (A.7) and functional analysis method the following functional has been obtained: /(y) = - u, dT ds dM ds,« (A.9) + [txO,T]- -i[D_1M,M]-^ [c% t] -±pAju2[u,u]-±piM2[n,n] + (t-t},u\ + (m-m),q] +[«,rL+[n,Af] In equation (A.9), the subscripts e and cr represent the geometric and dynamic boundary conditions. The Finite Element Formulation: u displacement, ÎÎ rotation, M moment and T internal force vectors are described as unknowns in (A.9) and the number of unknowns is 12 at each node of the rod in three dimensional coordinate system. These 12 unknowns are represented with interpolation functions like ut=^ ı/z-y/j,...,. For the finite element formulation linear interpolation functions are used: xiv1 x y/x=-{L-x) and y/2 = - (A.10) where L is the rod finite element length. Thus, the variables at any point of the rod axis are expressed as: u = uxy/x + u2w2 # T = Txy/x + T2y/2 Q = Q\f/X + Q2\j/2 ' M = Mxy/X + M2y/2 (A.11) Afterwards, the element ke and the mass matrix me are found using (A.10) and (A.11). Global system matrix K and global mass matrix M are derived from keand me using coding technique. Dynamic Analysis Free vibration equation of a single degree of freedom system can be expressed as follows: mx + kx = 0 Assuming the following harmonic solution, x = a sin(/tf ) Eq. (A. 13) reduces to the eigenvalue problem: (k-/j.2m\a = 0 (A.12) (A.13) (A.14) For conservative multi degree of freedom systems, (A.14) can be expressed as: ([K]-//2[M]){w} = {0} (A.15) and this reduces to the general eigenvalue problem. A nontrivial solution of the set Eq. (A.15) is possible only if the determinant of the coefficient matrix vanishes. In this equation ju represents the free vibration frequency of the space rod and w (u, Q) shows the column vector that holds displacements and rotation components. In mixed finite element model, (A.15) can be written in an open as follows: [Kn] [K12]' [K21] [K22] ?M [0] [0] [0] [m] > Jy Ml.Wl (A. 16) XVIn Eq. (A. 16), {F} is the column vector that holds the force and moment components. Taking out the components of the vector {F} from Eq. (A. 16) and using the reduction technique we get: ([K']V[m]){w} = {0} (A.17) where [K*] = [K22]-[K12]7'[K1I]_1[K12] and, [K*] is represented as reduced global system matrix. Eigenvalue problem expressed in Eq. (A.17) is solved and circular frequency values of jo. are found. A computer program coded in FORTRAN-90 is developed to prove sensitivity and verification of the method. In conclusion, it is shown that the frequency values derived by mixed finite element method give more sensitive results than other methods. xvi

Benzer Tezler

  1. Tez No

    11570

    Silindirik helisel çubukların statik, dinamik ve burkulma davranışlarının taşıma ve rijitlik matrisleri metodu ile incelenmesi

    Başlık çevirisi yok

    VEBİL HAKTANIR

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1990

    Makine MühendisliğiÇukurova Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ERHAN B. KIRAL

    PROF. DR. YALÇIN MENGİ

    PROF. DR. SEDAT BAYSEÇ

  2. Tez No

    50306

    Eğri eksenli çubuk sistemler ve silindirik tonoz yapıların tamamlayıcı fonksiyonlar metodu ve rijitlik matrisi yöntemi ile statik analizi

    Başlık çevirisi yok

    FARUK FIRAT ÇALIM

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1996

    İnşaat MühendisliğiÇukurova Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. ERHAN KIRAL

  3. Tez No

    223345

    Timoshenko çubuk kuramına göre, değişken kesitli, silindirik olmayan, helisel çubukların karışık sonlu elemanlar metodu ile statik analizi

    Static analysis of variable cross-sectional, non-silindirical helical bars with based on timoshenko beam theory by mixed finite element method

    SUAT BAYAR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2007

    İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. MEHMET H. OMURTAG

  4. Tez No

    100722

    Boru demeti taşıyıcı levhalarında üçgen ve sıralı dizilişler için ısı taşınım katsayısının belirlenmesi

    Determination of heat transfer coefficient on the tube bundle support plates for in-line and staggered

    KEMAL ÇAKIR

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1999

    Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. KEMAL DAĞSÖZ

  5. Tez No

    135760

    Viskoelastik, anizotropik eğri eksenli uzaysal çubuk sistemlerin dinamik analizi

    Dynamic analysis of viscoelastic, anisotropic curved spatial rod systems

    FARUK FIRAT ÇALIM

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2003

    İnşaat MühendisliğiÇukurova Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. BEYTULLAH TEMEL

Geri Dön