Değişken kalınlıklı eliptik levhaların burkulması ve titreşimleri
Stability and vibrations of elliptical plates with variable thickness
- Tez No: 127201
- Danışmanlar: PROF. DR. M. CENGİZ DÖKMECİ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Gemi Mühendisliği, Marine Engineering
- Anahtar Kelimeler: Burkulma (fen), Eliptik, Levhalar, Titreşim, Buckling, Elliptic, Plates, Vibration
- Yıl: 2002
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Gemi İnşaatı Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
DEĞİŞKEN KALINLIKLI ELİPTİK LEVHALARIN BURKULMASI VE TİTREŞİMLERİ ÖZET Temel yapı elemanı olarak yaygın olarak kullanılan levhaların titreşim ve stabilite problemi yaklaşık bir asırdır araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Özellikle dikdörtgen ve dairesel şekilli levhalar üzerine çok sayıda çalışma yapılmıştır. Daha farklı şekle sahip, ya da değişken kalınlıklı levhalar da sürekli ortamlar mekaniği alanının ilgi çeken konulan arasındadır. Örneğin, mühendislik yapılarında delik kapağı olarak sıkça kullanılan sabit kalınlıktaki eliptik levhaların titreşimi ve burkulması üzerine çok sayıda yayınlanmış eser bulunmasına rağmen, değişken kalınlıklı eliptik levhalar üzerine yapılmış çalışma sayısı azdır. Bir elips ve bir dikdörtgen süper elips olarak adlandırılan geometrik şeklin iki özel halidir. Köşelerinden yuvarlatılmış bir dikdörtgen şekil elde etmek için levhanın kenarı aşağıdaki süper eliptik fonksiyon ile tanımlanabilir: '2x^ in /-“ \2» + \a J ly \ u J ¦1 = 0, » = L2,...,oc (1) Burada a ve b sırasıyla levhanın- kartezyen koordinat sisteminde x ve y yönündeki en, büyük uzunluklarıdır. Bu tip bir fonksiyonun iki özel halinin n=\ olduğunda bir elips ve «=oc olduğunda bir dikdörtgen olduğu açıktır. Köşelerin n sayısı büyüdükçe kendiliğinden yuvarlatıldığı görülebilir. Enine titreşen dairesel bir levhanın doğal frekansının en fazla olduğu andaki şekli Olhoff tarafindan 1970'te belirlenmiştir ancak, o zamandan beri eliptik levhaların en iyi tasarımını yapmak henüz mümkün olmamıştır. Bu parametrik çalışma bu yönde atılmış bir adımdır. Çalışmanın gemi veya diğer deniz yapılarının güverte levhalarına uygulanabilmesi amacıyla süper eliptik levhalar için genişletilmesi düşünülmektedir. Çalışmada kalınlığı parabolik olarak değişen eliptik levhaların elastik burkulması ve serbest titreşimleri incelenmiştir. Levhaların lineer elastik, homojen, izotrop ve kenarlarından basit ya da ankastre mesnetli olduğu kabul edilmiştir. Problemin matematiksel modeline ait temel diferansiyel denklemi kartezyen koordinatlarda aşağıdaki gibidir: V2(£>V2w)-(l-v) rÖ2D d2w ”d2D d2w d2D d2w^ *2 2 + ^ dx2 dy2 dxdy dxdy dy2 dx2, NV2w + ph^- = 0 (2) dt Burada w, v, p, h,t ve N sırasıyla levhanın yer değiştirmesi, Poisson oranı, birim hacminin yoğunluğu, değişken kalınlığı, zaman ve levhanın kenarı boyunca birim uzunluğa etki eden çekme gerilmesidir. Ayrıca (2) numaralı denklemde görünen levhanın eğilme rijidliği D şu şekilde tanımlıdır: xıD=Eh3/\2(l-v2) (3) Burada E Young veya elastisite modülü olarak bilinir. Boyutsuz değişkenler x = x/a ve y = y/b kullanılarak çözümün aşağıdaki gibi arandığı basit harmonik hareket kabulü yapılacaktır: « 77\.-.*'ûtf w(x,y,t)=w(x,y)e (4) Burada co doğal açısal frekanstır. Diğer taraftan levha kalınlığının aşağıdaki bağıntıya gore değiştiği kabul edilecektir (bağıntıdaki artı ve eksi işaretleri sırasıyla ankastre ve basit mesnetli duruma karşılık gelmektedir): h(x,y) = ch0[a±j3(x2+y2)] (5) Burada ho sabit kalınlıktaki eliptik bir levhanın kalınlığı, a levhanın sabit kalınlığını tanımlayan bir parametre, /? kalınlık değişimini belirleyen eğrilik parametresi ve c ise gözönüne alınan tüm levhaların hacminin birbirine eşit olmasını sağlayan aşağıdaki şekilde tanımlı bir parametredir: c = 2/(2cc±J3) (6) Sabit kalınlıktaki eliptik bir levhanın hacmi nabh0 ile verilir ve eğer dikkat edilecek olursa bu değişken kalınlıklı eliptik bir levhanın boyutsuz halde hacmini veren aşağıdaki değere karşılık gelmektedir:.fifc = 4N f X h(x,y)dy>(£c = 7rch0(a + j3/2)=:xh0 (7) Eğilme rijidliği şimdi şu şekilde tekrar yazılabilir: D(x,y)=D0c'H Burada D0 =Eh3Jl2(l-v2) ve H= [a±J3(x2 +y2)]\ (4) ve (8) numaralı denklemler (2) numaralı denklemde yerine konduğunda: (8) c3\{K + 2K2 - - - r + - r) + 2K4 t + 2K2 &cA dx dy dy dx dx2 KT3TT2 dx dxdy ntr-,dH d3w m d3w + 2K- - - + 2 r dy dx dy dy dy + K4^^W+K2d^d^W+K2 2 -Xl2 dx dx 2 a^2 dy1 dx d2H d2w dx2 dy2 XII+. d2H 82w dy2 dy T~K\\-v) d2H d2w " d2H d2w 82H d2w ___ 2 1- ; - dx2 dy2 dxdy dxdy dy2 dx2 -yxXcWl3w -7iK K- d2w d2w^ T + T dx2 dy2 = 0 (9) Burada K levha kısa kenarı 6'nin uzun kenar a'ya oranı, 22 = V/l* = cob2 ^Jph0 / D0 frekans parametresi ve Xb =Nb2/D0 kritik burkulma yükü parametresidir. Ayrıca (9) numaralı denklemdeki yx ve y2 sabitleri aşağıdaki gibi tanımlıdır: X, = 1, y2 = 0 serbest titreşim problemi için yx = 0, y2 = 1 elastik burkulma problemi için (10a) (10b) /,=1, y2~\ düzlemsel kuvvetler etkisinde serbest titreşim problemi için (10c) Temel denklem varyasyonel formda da ifade edilebilir. Orta düzlemine etki eden düzgün yayılı basınç kuvveti etkisi altında serbest titreşen bir levhanın toplam enerji fonksiyoneli şöyledir: F = u-/lT-r2v (11) Burada U eğilmeden dolayı biriken şekil değiştirme enerjisi, T levhanın kinetik enerjisi ve V orta düzleme etki eden basınç kuvvetinin potansiyel enerjisidir. Bu enerji ifadeleri ve toplam enerji fonksiyoneli aşağıda açık olarak verilmektedir: U=-^-D0Uc3H- 2b4 0} (K- d2w d2w dx~ dy + ~ T)2-2{\-v)K- d2w d2w ' O W ' ar dy' dxdy J dxdy (12) T- -pco2h0§c\a±p(x2 + y2)]w2(x,y)dxdy (13) 2b2 JJ 1 K- fdw\ ( dw > \dx; + K$yj dxdy (14) MJ c'H ox2 8y2 d2w d2w ( d2w ' dx1 dy [dxdy -yxXc[a±j3(x2 +y2)]w2 -y2Xb< K' fdw^ Vcxy + dw ¦dxdy (15) XlllBasit mesnetli hal için sınır şartlan, yani levha kenarlarında çökmenin ve eğilme momentinin sıfır olması, aşağıdaki gibidir: w = 0; Mx=0 ve My =0 (16) Ankastre mesnetli halde ise kenarlarda çökme ve eğimin sıfır olması şartı şu şekilde sağlanır: w = 0; -r = Q ve - r = 0 (17) dx dy Hareketin levhaya verilen bir ilk deplasman (yer değiştirme) ile başladığı varsayılmaktadır. Diferansiyel denklem formundaki matematiksel model kolokasyon, moment ve Galerkin gibi bazı ağırlıklı artıklar yöntemleriyle yaklaşık olarak çözülürken, integral denklem formundaki model sadece Rayleigh-Ritz tekniği olarak bilinen bir enerji yöntemiyle çözülmüştür. Ağırlıklı artıklar yöntemleri problemdeki bağımsız değişkeni ifade etmek üzere seçilen bir 'deneme fonksiyonu' nun sınır koşullarını sağlamasına rağmen, genel olarak temel diferansiyel denklemi sağlamadığını varsayar. Bu yüzden, deneme fonksiyonunun temel denklemde yerine konmasıyla sR ile tanımlanan bir artık ortaya çıkar. 'En iyi' çözümü elde etmek için artıkların problemin tanımlı olduğu bölge boyunca toplamının en az olması istenir, yani: \sR dO. = minimum (18) Bu amaca ulaşmak için artığın ağırlıklı bir değerinin bölge boyunca en az olması gibi seçenekler dikkate alınabilir. Ağırlık fonksiyonu artığın ağırlıklı toplamının sıfır olmasını sağlar. Ağırlık fonksiyonu q> ile gösterilecek olursa yukarıdakinin daha genel bir ifadesi şöyledir: \eR(pdQ = 0 (19) Ağırlık fonksiyonları çok çeşitli şekillerde seçilebilir ve her seçim ağırlıklı artıklar yöntemlerinde farklı bir kritere karşılık gelir. Örneğin, moment yönteminde artığın momentleri ağırlık fonksiyonu olarak seçilirken, Galerkin yönteminde ağırlık fonksiyonları deneme fonksiyonlarıyla aynı seçilir. Diğer taraftan kolokasyon yönteminde artığın kendisi problemin tanımlandığı bölgenin bazı noktalarında sıfırlanır. Basit mesnetli halde levha kenarı boyunca eğilme momentinin sıfır olması şartının sağlanmasının kolay olmamasından ötürü ağırlıklı artıklar yöntemlerinin sadece ankastre mesnetli hal için uygulandığı vurgulanmalıdır. Varyasyonel formda ifade edilen matematiksel modeli çözmek için Rayleigh-Ritz yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntem kullanıldığında sınırda momentin sıfır olması şartının sağlanması gerekmediğinden basit mesnetli hal için sonuçlar üretmek mümkün olmuştur. Elips için bu ifadenin çok karmaşık olduğu ve ilgili sınır şartını sağlayacak fonksiyonların bulunmasının kolay olmadığı iyi bilinmektedir. Dahası, xıvböyle bir ifadeyle bulunacak sonuçların aşağıda verilen üç terimli bir çökme fonksiyonuyla bulunacaklardan daha hassas olacağına dair bir garanti de yoktur: w = (x2 + y2 -l)(a,+a2x2+a3J?2) (20) Ankastre mesnetli hal için öngörülen çökme fonksiyonu her iki sınır koşulunu da sağlamaktadır, yani: w = {ax+a2x2 +a^y2){x2 + y2 -l)2 (21) Ağırlıklı artıklar yöntemleri uygulanırken, aynı deneme fonksiyonu kullanıldığında Galerkin ve Rayleigh-Ritz yöntemleriyle elde edilen sonuçlar aynı olduğundan, sınır koşullarını sağlayan farklı bir çökme fonksiyonu kullanılmıştır. Bu fonksiyon aşağıda görüldüğü gibidir: w = (a,+a2(x2 + y2 -l)+a3(x2 + y2 ~\f\x2 +y2 -l)2 (22) Kullanılan sayısal yöntemlerin hassasiyetini ve dolayısıyla geçerliliğini belirlemek için önce sabit kalınlıklı eliptik ve dairesel levhaların serbest titreşim ve elastik burkulma problemi ayrı ayrı çözülmüş ve elde edilen sonuçlar literatürdekilerle karşılaştırılmıştır. Levha kalınlığının ankastre mesnetli ve basit mesnetli duruma uygun iki farklı şekilde olduğu düşünülmüş ve tüm levhaların hacimleri birime eşitlenmiştir. Bu sayede her bir farklı kenar oranı için levhaların asal frekans ve kritik burkulma yükü parametrelerini karşılaştırmak mümkün olabilmiştir. Daha sonra parabolik kalınlık değişiminin frekans ve burkulma yükü parametreleri üzerindeki etkisi incelenmiştir. Son olarak orta düzleme etki eden kuvvetlerin hem sabit hem de değişken kalınlıklı dairesel ve eliptik levhaların serbest titreşimi üzerindeki etkisi araştırılmıştır. Sonuçlar literatürdekilerle kolayca karşılaştırılabilmesi amacıyla şekillerden ziyade tablolar halinde sunulmuştur. Levha formunun uygun şekilde seçilmesi halinde eliptik levhaların titreşim ve stabilite karakteristiklerinin iyileştirilebileceği sonucuna varılmıştır. Ana hatlarıyla tez şu şekilde sunulmuştur: Birinci bölümde eliptik levhalarla ilgili yapılmış çalışmalardan bahsedildikten sonra bu tezin amacı ve içeriği anlatılmıştır. İkinci bölümde problemin diferansiyel ve integral denklem formundaki iki farklı matematiksel modeli detaylı bir şekilde tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde matematiksel modellerin çözümünde kullanılan sayısal yöntemlerden kısaca bahsedilmiştir. Parametrik çalışmanın ankastre mesnetli hal için çözümü ve sonuçlan dördüncü bölümde sunulmuştur. Benzer şekilde basit mesnetli hal beşinci bölümde incelenmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümlerde elde edilen sonuçların değerlendirilmesi ve tartışılması altıncı bölümde yapılmıştır. Son olarak yedinci bölümde bu çalışmadan çıkarılabilecek önemli sonuçlar gelecekte yapılabilecek çalışmalarla birlikte verilmiştir. XV
Özet (Çeviri)
STABILITY AND VIBRATIONS OF ELLIPTICAL PLATES WITH VARIABLE THICKNESS SUMMARY The problem of vibration and stability of plates, which are widely used as main structural components, has attracted attention of researchers for nearly a century. Rectangular and circular plates in particular have been well studied. Plates of various shapes and of non-uniform thickness have also been considered as an interesting topic in the field of continuum mechanics by many researchers for the last several decades. For instance, there have recently been considerable published works on vibration and buckling of elliptical plates with constant thickness, which are commonly used as cover plates for cut-outs in engineering systems. However quite little has been reported for elliptical plates with variable thickness. An ellipse and a rectangle are the two special cases of a geometrical shape defined as a super ellipse. In order to obtain a rounded or curved corner for a rectangular plate, the periphery shape of the plate may be defined by the super elliptical function 2x ya j +.1 = 0, n = l,2,...,oc (1) where a and b are the maximum dimensions of the plate in the x and y directions of the Cartesian coordinate system respectively. It is obvious that the limiting cases of such a function are an ellipse when n=l and a rectangle when n =oc. It can be seen that the comers are rounded automatically as the integer power of n increases. The shape of a circular plate when its natural frequency of transverse vibrations became optimal was determined by Olhoff in 1970, but since then the optimal design of elliptical plates has not been achieved yet. The current parametric study is a step in this direction. It is intended to extend the present work for super elliptical plates in order to be able to apply the resulting techniques to, for example, deck plating of ships or offshore structures. Elastic stability and free vibrations of elliptical plates with parabolically varying thickness are investigated. It is assumed that plates are linearly elastic, homogeneous, isotropic and that they are either simply supported or clamped at the edges. The governing equation of the mathematical model for the problem is given as a differential equation in Cartesian coordinates as follows: V2(£>VV)-(l-i/) d2D d2w“ d2D d2w d2D d2w 2n a2,.A ? + - dx dy dxdy dxdy dy~ dx, ?N72w + ph^- = 0 (2) dt2 where m>, v, p, h, t and N denote the displacement, the Poisson ratio, mass density per unit volume, the variable thickness of the plate, time and uniform boundary tension per unit length of the edge respectively. Also appearing in equation (2) is the flexural rigidity D defined by xviD=Ehzl\2(\-v2) (3) where E is Young's modulus. The non-dimensional variables x = x/a and y = y/b are introduced and simple harmonic motion is assumed where one seeks the solution of the form: w(x,y,t)=w(x,y)eh (4) where co is the natural angular frequency. The plate thickness on the other hand is assumed to vary according to the following relation (one should note that sign plus and sign minus denote the clamped and simply supported cases respectively): h(x,y) = ch0[a±/3(x2+y2)] (5) where ho is the thickness of an elliptic plate with constant thickness, a is a parameter defining the constant part of thickness, /? is the taper parameter controlling the variation of thickness and c is a parameter insuring that all the plates considered are of equal volume defined as: c = 2/(2a±0) (6) Volume of an elliptical plate with constant thickness is nab\ and note that this corresponds to the following which gives volume of an elliptical plate with varying thickness in dimensionless form: V = 4[ i/l-x hfZ h/2 dy ?dx = 4\\\ * h(x,y)dy><fic = 7vch0(a + fi/2) = 7vh0 (7) The flexural rigidity now may be rewritten as: D(x,y)=D0c*H (8) where D0 =Eh3Jl2(\-v2) and H= [a±0(x2 + y2)] Substituting equation (4) and (8) into (2) gives finally: c'UK 43V..,, d4w d4w + 2K2 dx 4 dx2dy2 dy ”-N ^AdH d3w nir2dH d3w + - -) + 2K-_ - - - + 2K2 dx dx c:3 dx dxdy2 + 2K“ - + 2 dy dx dy dy dy dH d'w ^4d2Hd2w ^2d2H d2w ^2d2Hd2w 2 arr2 dx dx dy1 dx' dx2 dy2 xvn+ - K2(\-v) dy2 dy2 d^_d\^_2^H_d^w_ d2H d2w dx2 dy2 dxdy dxdy dy2 dx2 -y{A*cHlpw -YiK ( d2w d2w^ l'”b Kl +. cEz dy1 = 0 (9) where K is the aspect ratio of the plate, A2 = \U* = cob2^ph0/D0 is the frequency parameter and Xb = Nb2/D0 is the critical buckling load parameter. Also appearing in equation (9) are the constants yx and y2 defined as: Y\-\ Yj-® f°r tne fi“ee vibration problem (10a) ^i=0, y2=l for the elastic buckling problem (10b) X, =1, y2=\ for the problem of vibrating plates with in-plane forces (10c) The governing equation can also be expressed in variational form. The total energy functional of a vibrating plate with in-plane uniform compressive load is as follows: f^U-y{T-y2V OD where U is the strain energy due to bending, T is the kinetic energy of the plate considered and V is the potential energy of the in-plane uniform compressive load. These energy expressions and the total energy functional are given below in open form: U 2b \jD«\\c*H< d2w d2w eft2 ~df (K2^ + ^-)2-2(l-v)K' d2w d2w dx2 dy2 dxdy dxdy (12) T= ]-pco2hn\\c[a±(3(x2 + f)]w2(x,y)dxdy (13) V = 2b2 » K' r^,\2 fa...V dw + dw ?dxdy (14) Mf c3H.2d^w + d^w^2 nn..^2 dx2 dy2 (K2^r + ^)2 -2{l-v)K-' d2w d2w dx2 dy2 rd2w^ dxdy -yxX*c[a±p(x2 +y2)\v2 -y2Xb< K: rdw^2 + ^V dxj [dy \vr J ?dxdy (15) xvmBoundary conditions for the simply supported case, i.e. where the edge deflection and the edge moments are zero, are given as: w = 0; Mx=0 andMy=0 (16) For the clamped case condition, the edge deflection remains zero and the slope at the edges are zero as follows: dw dw w = 0; T=0 and - = 0 (17) dx dy Motion is assumed to start with an initial displacement given to the plate. While the differential equation formulation is solved numerically by some weighted residual methods such as collocation, moment and Galerkin methods, the integral equation formulation is only solved by a well-known energy method called Rayleigh- Ritz technique. The method of weighted residuals presumes that a ”trial function“ chosen to approximate an independent variable in a problem, in general, will not satisfy the pertinent governing differential equation. Thus, substitution of the trial function into the governing differential equation will result in a residual denoted by sR. In order to obtain the ”best" solution, one then seeks to minimise the integral of the residuals throughout the region of the problem, i.e. I eR dQ. = minimum (18) One can widen the range of oppurtunities in meeting this objective by requiring that a weighted value of the residual be a minimum throughout the region. The weighting function enables the weighted integral of residuals to achieve a value of zero. Denoting the weighting function by <p, more general form of the above becomes: sR<pdQ. = 0 (19) Q The weighting functions may be chosen in a variety of ways and each choice corresponds to a different criterion in the method of weighted residuals. For instance the weighting functions are chosen to be the same as trial functions in the Galerkin' s method, while the moments of the residual are used as weighting functions in the method of moments. On the other hand in the collocation method the residual itself is fixed to zero in some points of the region. It should be stated here that the method of weighted residuals is only applied to the clamped case in the current study since it is not easy to satisfy the boundary condition of zero edge moment for the simply supported case. The Rayleigh-Ritz technique is used to solve the mathematical model expressed in variational form. It has been possible to produce results for the simply supported case, since the condition of zero edge moment need not be satisfied when using this method. It is well known that in the case of the ellipse this expression is quite complicated, and finding reasonably general functions which would satisfy it would xixbe no easy matter. Furthermore, there is no guarantee that results thus obtained would be any better than those to be found using a three-term deflection function given below: O' w = (x2+y2 -l)(a,+a2x2+a3j72) (20) The deflection function used for the clamped case satisfies both of the boundary conditions, i.e. w = (ai+a2x2+aj2)(x2 + y2 -l)2 (21) A different deflection function is employed when the weighted residual methods are applied, since the Galerkin approach yields results that are identical to those obtained by the Rayleigh-Ritz method. This function is as follows: w = (a, +a2(x2 + y2 -l)+a3(x2 + y2 -l)2\x2 +y2 -l)2 (22) In order to test the accuracy and the validity of the numerical methods used, first free vibration and elastic buckling problem of elliptical and circular plates with constant thickness are solved in turn and the results obtained are compared with the ones found in literature. Plate thickness is considered to be of two different forms suitable for the clamped and simply supported cases respectively and also volume of all the plates are equalised to unity. Therefore for different aspect ratios it has been possible to compare fundamental frequency parameters and critical buckling load parameters of all plates with each other. Then the effect of parabolically varying thickness on fundamental frequency parameter and critical buckling load parameter is investigated. Finally the effect of in-plane forces on free vibrations of circular and elliptical plates with both constant and parabolically varying thickness is searched. Results are usually presented as tables rather than figures so that they can easily be compared with the ones given in the literature. It is concluded that vibration and stability characteristics of elliptical plates can be improved, provided that the shape of the plate is suitably chosen. The outline for this thesis is as follows: In the first section the problem of analysing elliptical plates is introduced, followed by a literature review of related work done in this area; the objectives of this study are then given with an outline of the contents. In the second section the various mathematical models are described in detail including the two approaches from an integral formulation or a differential formulation. In the third section the numerical methods used to solve the model are briefly described. The clamped case is solved, and the results of the parametric investigation are presented in the fourth section. The simply supported case is considered separately in the fifth section. An evaluation and discussion of the results obtained in the previous two sections are made in the sixth section. Finally in the seventh section, some important conclusions of this work are underlined, followed by probable proposals for the future work. xx
Benzer Tezler
- İki paralel levha arasındaki laminer akışta değişken duvar kalınlığının ısı transferine etkisinin sayısal analizi
Numerical analysis of the effect of variable wall thickness on heat transfer for laminar flow between two parallel plates
BİROL ŞAHİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2002
Makine MühendisliğiKaradeniz Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. MEHMET EMİN ARICI
- Boundary layer flow over axisymmetric bodies
Aksisimetrik cisimler üzerindeki sınır tabaka akışı
CEMAL GÖVSA
- Değişken kalınlıklı halka plakların statik ve dinamik stabilitesi
Static and dynamic stability of variable thickness annular plates
VAHİT MERMERTAŞ
- Değişken kalınlıklı elastik zemine oturan kirişler
Beams on variable depth elastic foundation
CEYHUN GÜDÜL
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF.DR. HASAN ENGİN
