About the structures of non-abelian groups of order pg3
Abelyen olmayan pg3 mertebeli grup yapıları üzerine
- Tez No: 106436
- Danışmanlar: PROF. DR. KADİR R. AHRE
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Abelyen olmayan gruplar, Grup teorisi, Gruplar, Nonabelian groups, Group theory, Groups
- Yıl: 1997
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
ABELYEN OLMAYAN pq3 MERTEBELİ GRUP YAPILARI ÜZERİNE ÖZET Çalışmamızın amacı pq3 mertebeli grupların nilpotent olmaları için yeterli koşullar bulmaktır. Abelyen gruplar nilpotenttir. Beri yandan, abelyen olmayan bir grubun sylow alt grupları abelyense, bu kez de grup nilpotent değildir. Çünkü, nilpotent gruplar sylow alt gruplarının direk çarpımıdırlar ve abelyen grupların direk çarpımları da abelyen olur. Dolayısıyla, biz çalışmamızda yalnızca pq3 mertebeli bir grubun q-sylow alt grubunun abelyen olmadığı durumu ele aldık ve sonuçlarımızı da bu durumu göz nünde bulundurarak ifade ettik. Bundan başka, p ve q'yu tek asallar ve p<q olarak varsaydık. Yani çalışmamızda nilpotent olması için yeterli koşullar aradığımız G grubunun şu şekilde belirlendiği hatırda tutulmalıdır: 1) p ve q tek asallar ve p<q olmak üzere İGİ = pq3 2) G'nin q-sylow alt grubu abelyen değil. Elde ettiğimiz sonuç şudur: i) G'nin q-sylow ah grubunun Üssü (her elemanı birime eşitleyen en küçük üs) q2'sye, p'nin q-l 'i bölmesi durumu dışında, G nilpotenttir. ii) G'nin q-sylow ak grubunun üssü q'ysa, p'nin q2-l'i bölmesi durumu dışında, G nilpotenttir. Dışarıda tuttuğumuz durumlarda da, G'nin nilpotent olmayabileceğini gösteren karşı örnekler verilmiştir. Sylow teoremi p'nin q-l 'i ya da q2-l 'i ya da q3-l 'i bölmesi durumları dışında G'nin nilpotent olduğunu söylemektedir. Dolayısıyla, elde ettiğimiz sonuç, pq3 mertebeli gruplar için Sylow Teoremi'nin söylediğini ilerletmektedir. Bu sözünü ettiğimiz sonuçlar altıncı ve yedinci bölümlerin konusunu oluşturmaktadır. Çalışmamızın bunlardan önceki bölümlerindeyse bu sonuçlara ulaşırken kullanacağımız, daha önce elde edilmiş, önbilgilere ve teoremlere yer verdik. Bu bilgiler ve teoremler çalışmamızın sonunda yer alan kaynaklarda görülebileceği gibi, daha birçok kaynaktan da bulunabilir. Çalışmamızın birinci bölümünde nilpotent gruplar hakkında genel bilgiler verdikten sonra, ikinci ve üçüncü bölümlerde q3 mertebeli grup yapılarım inceledik. Mertebeleri pq3 şeklinde olan grupların q-sylow alt grupları q3 mertebeli olduklarından, bu inceleme gereklidir. vüİkinci bölümde q3 mertebeli, abelyen olmayan yalnız iki çeşit grup olduğu şeklindeki sonucu verdik; bu sonuca Rotman ve birçok diğer yazar işaret etmektedirler. Üçüncü bölümde q3 mertebeli abelyen olmayan gruplarla ilgili bilgiler verilmeye devam edilmektedir. Bu konulara Carmichael da değinmiştir ve bilgiler arasında şunlar vardır: ___ ? Böyle bir grubun merkezi ve komütatör alt grupları aynıdır. " Merkezin (dolayısıyla komütatör alt grubun)mertebesi q'dur. ? Böyle bir gruptaki denklik sınıflan sayısı q2+q-l dir. ? Böyle bir gruptaki q2 mertebeli alt grupların sayısı q+1'dir ve bunların hepsi normaldir. İncelediğimiz gruplar sylow alt gruplarının yarı direkt çarpımları olduklarından, dördüncü bölümde yan direkt çarpım kavramı hatırlatılmış ve bu kavramla ilgili önemli teoremler ifade edilmiştir. Beşinci bölümde q2 mertebeli grupların otomorfîzm gruplarıyla ilgili aşağıdaki iyi bilinen teoremini ifade ettik: Teorem : q2 mertebeli bir grubun otomorfîzm grubundaki eleman sayısı grup devirliyse q(q-l); devirli değilse (q2-lXq2-q)'dur. Altıncı ve yedinci bölümlerde, dışanda bırakılan durumlarda gurubun nilpotent olmayabileceğim gösteren karşıörnekler de ekledik. viii
Özet (Çeviri)
ON THE STUCTURES OF NON-ABELIAN GROUPS OF ORDER pq3 SUMMARY Aim of our study is to find sufficient conditions for groups of order pq3 to be nilpotent. Abelian groups are nilpotent. On the other hand, if the sylow subgroups of a non-abelian group of order pq3 are abelian; this time, the group is not nilpotent. Because nilpotent groups are direct products of their sylow subgroups and direct products of abelian groups are abelian. Therefore, in our study, we handled only the case of a non-abelian group of order pq3 whose q-sylow subgroup is not abelian and we stated our results regarding this case. Besides, we assumed that p and q are odd primes and that p<q. i.e. it must be kept in the mind that the group G for which we try to find in our study sufficient conditions to be nilpotent is specified as follows: 1. p and q are odd primes and p<q such that IGhpq3 2. q-sylow subgroup of G is not abelian. The result we evaluated is the following: i) If the order of the q-sylow subgroup of G (the smallest power which equates each element to unity) is q2, then G is nilpotent except the case in which p divides q-1. ii) If the order of the q-sylow subgroup of G is q, then G is nilpotent except the case in which p divides q2-l. In the cases we excluded, counterexamples are given showing that G need not to be nilpotent. Sylow' s Theorem says that G is nilpotent except the cases in which p divides q-1 or q-1 or q3-l. Therefore, the result we evaluated improves what sylow' s Theorem says about groups of order pq3. The results we mentioned above form the subject matters of the sixth and seventh chapters. In the earlier chapters of our study, we gave place to the preliminaries and theorems which had been obtained by others and which we shall use when achieving these results. These preliminaries and theorems can be seen in the references which take place at the end of our study or can be found elsewhere. After giving general information in the first chapter of our study, in the second and third chapters, we investigated the group structures of order q3. Because q-sylow subgroups of groups of order pq3 are of order q3, such an investigation is necessary.In the second chapter we gave the result that there are only two kinds of groups which are not abelian and of order q3; Rotman and many other authors indicate this result. In the third chapter, we continued to give information about the groups of order q which are not abelian. Carmichael, treated these subjects, too and among these information there are the following. ? Center and commutator subgroups of such groups are identical. ? Order of the center (therefore, of the commutator subgroup) is q. ? Number of conjugacy classes in such a group is q2+q-l. ? Number of subgroups of order q2 is q+1 and all are normal Because the groups we investigated are semi-direct products of their q-sylow subgroups, in the fourth chapter the concept of semi-direct product is reminded and the important theorems concerning this concept are stated. In the fifth chapter, we stated the following well known theorem about the automorphism groups of groups of order q2. Theorem: Number of elements in the automorphism group of a group of order q2 is q(q-l) if tiie group is cyclic and if not, it is (q2-l)(q2-q). In the sixth and seventh chapters, we also added counterexamples showing that in the excluded cases we may not have nilpotency. VI
Benzer Tezler
- The Relation between natural and man - made structural systems - examination of 20th century examples in special case of the modern architect Santigo Calatrava
Doğa strüktürleri ve insan yapısı strüktürel sistemler arası ilişkinin 20. yüzyıl örneklerinde ve Santigo Calatrava özelinde incelenmesi
AYŞE BANU AYDIN
Yüksek Lisans
İngilizce
1997
MimarlıkDokuz Eylül ÜniversitesiMimarlık Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ÇETİN TÜRKÇÜ
- Bazı heterohalkalı organik bileşiklerin sentezleri ve spektroskopik incelemeleri
Başlık çevirisi yok
SERAP ALP
- An Analysis of Turkish and English idioms from syntactic, semantic and pragmatic points of view special reference to dramatic works
Türkçe ve İngilizce deyimlerin tiyatro eserlerine ilişkin olarak sözdizim, anlam ve kullanım yönünden çözümlenmesi
GÜLAY ER
Doktora
İngilizce
1998
DilbilimGazi Üniversitesiİngiliz Dili Eğitimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CENGİZ TOSUN
- Uzay çubuk sistemlerde ikinci mertebe limit yük için yapı ağırlığını minimum yapan bir boyutlandırma yöntemi
A Minimum weight design method for materially and geometrically non-linear framed space structures
ENGİN ORAKDÖĞEN
- Düzenli dalgaların yüzen dalgakıranlardan aktarılması
Transmission of regular waves through floating breakwater
ATİLLA BAYRAM
