Farklı uzaklık fonksiyonları yardımıyla tanımlanmış uzaylarda sabit nokta teorisi ve uygulamaları

Fixed point theory in spaces defined by differentdistance functions and its applications

PDF İndir

Tez No: 1018502
Yazar: DİLEK KARABACAK KESİK
Danışmanlar: PROF. DR. MAHPEYKER ÖZTÜRK
Tez Türü: Doktora
Konular: Matematik, Mathematics
Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
Yıl: 2026
Dil: Türkçe
Üniversite: Sakarya Üniversitesi
Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
Bilim Dalı: Topoloji Bilim Dalı
Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

Sabit nokta teorisi, analitik kesinliği topolojik yapı ve geometrik sezgiyle birleştiren, modern matematiğin en etkili araçlarından biridir. Sabit nokta teoremi ise belirli dönüşümlerin sabit noktalarının varlığını ve tekliğini konu alan matematiksel bir ifadedir. Sabit nokta teorisinin kökenleri, özellikle diferansiyel ve integral denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliklerinin gösterilmesinde kullanılan en iyi yaklaşım yöntemine dayanan on dokuzuncu yüzyılın sonlarına kadar dayanmaktadır. Bu yöntem; Poincaré, Cauchy, Liouville, Lipschitz, Peano ve Picard gibi matematiğin önde gelen isimleriyle ilişkilendirilmektedir. Metrik sabit nokta teorisi temelde metrik özellikleri içeren yöntem ve sonuçlarla ilgilenen sabit nokta teorisinin doğal bir alt dalıdır. Bu alandaki ilk temel sonuç, 1922 yılında S. Banach tarafından elde edilmiş olup, literatürde Banach Daralma Prensibi ya da Picard-Banach-Caccioppoli teoremi olarak bilinmektedir. Bu prensip, bir tam metrik uzayda tanımlı dönüşümün sabit noktasının varlığını garanti etmesinin yanında diğer sabit nokta teoremlerinden farklı olarak sabit noktanın tekliğini ve nasıl bulunabileceğini ortaya koymaktadır. Bu önemli teorem aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:“ X, d  tam metrik uzay ve :XX bir dönüşüm olsun. Eğer , X için d  ,   kd  ,  ifadesini sağlayan k 0,1 sabit sayısı varsa dönüşümünün bir tek sabit noktası vardır.”Banach daralma prensibine ilişkin tek önemli dezavantaj, dönüşümün tüm tanım kümesinde sürekli olmasını zorunlu kılmasıdır. Gerçekte, Banach sabit nokta teoreminde süreklilik varsayılmamıştır. Her Banach daralma dönüşümü süreklidir. Bu koşulu zayıflatma yönünde ilk önemli adım Kannan tarafından atılmıştır. Kannan, süreklilik varsayımı olmaksızın sabit nokta varlığını garantileyen yeni bir daralma dönüşümünü aşağıdaki şekilde tanıtmıştır:       1 , , , , 0 2 d  k d  d   k  . Geniş uygulama alanlarına sahip olması nedeniyle Banach daralma prensibi zaman içinde iki farklı yönde genelleştirilmiştir. Bunlardan en önemli olanlarından ikisi ya dönüşümlerin tanımlı olduğu uzayların yapısının genişletilmesi ya da dönüşümler üzerindeki daralma koşullarının zayıflatılması ve bu zayıflatmayı telafi etmek için gerekirse uzaya yeterince zengin bir yapının kazandırılmasıyla gerçekleştirilmiştir. Ayrıca açıklanan bu iki yönün birleştirilmesi ya da ilave koşulların eklenmesi yoluyla da birçok sabit nokta teoremi elde edilmektedir. Birinci yönde, b  metrik uzaylar, xx kısmi metrik uzaylar, kısmi b  metrik uzaylar, modüler metrik uzaylar, modüler b  metrik uzaylar, quasi metrik uzaylar, quasi modüler metrik uzaylar; diğer yöndeki çalışmalar için Kannan, Chatterjea, Ciric, Reich, ve Sehgal'in katkıları hatırlatılabilir. Bahsedilen doğrusal daralmaların çoğu, dönüşümün tüm tanım kümesinde sürekli olmasını zorunlu kılmasa da sabit noktada sürekli olmasını zorunlu kılmaktadır. Bu düşünceden hareketle Rhoades 250 farklı daralma tanımı karşılaştırmış ve bu tanımların büyük bir kısmının dönüşümün tüm uzayda sürekli olmasını gerektirmediğini; buna karşın tamamının dönüşümü sabit noktada sürekli olmaya zorladığını göstermiştir. Bu gözlemlerden esinlenen Rhoades aşağıdaki ilginç açık problemi ortaya koymuştur:“Sabit noktanın varlığını ve tekliğini garanti edecek kadar güçlü olup, dönüşümün sabit noktada bile sürekli olmasını zorunlu kılmayan bir daralma tanımı var mıdır?”Öte yandan, Banach daralma prensibini genişletmek amacıyla birçok araştırmacı daralma şartındaki k reel sayısını  : 0,0, biçiminde tanımlı ve her t  0 için  t   t koşulunu sağlayan bir fonksiyonla değiştirmeyi amaçlamıştır. Bu tür daralmalar genellikle d  ,   d  ,  biçiminde olup doğrusal olmayan daralma, kullanılan  fonksiyonu ise kontrol fonksiyonu olarak adlandırılmaktadır. Daha sonra, birçok araştırmacı tarafından  fonksiyonunun özellikleri değiştirilerek Banach daralma prensibi genişletilmiştir. D. Wardowski, M. Jleli ve B. Samet, J. Matkowski, T. Suzuki farklı türde kontrol fonksiyonları kullanarak daha genel daralma koşulları elde etmişlerdir. Bu doktora tezi sekiz bölümden oluşmaktadır. Alışılmış metrik uzayların birer genellemesi olarak bu tezde ilk kez tanımlanmış olan kısmi modüler b  metrik uzaylar ve Archimedean olmayan   simetrik quasi modüler metrik uzaylar, topolojik özellikleri ve bu uzaylardaki sabit nokta teoremlerine yer verilmektedir. Öncelikle, metrik uzaylarda tanımlı olan bazı özel koşulların yeni tanımlanan uzaylarda genelleştirilmiş halleri bu tezin farklı bölümlerinde tanımlanmıştır. Bu bölümlerde ispatlanan teoremlerin sonuçlarını pekiştirmek için özel örnekler verilmiştir. Uygulama olarak ise bahsi geçen uzaylarda farklı tip dönüşümler için sabit nokta teoremlerinin sonuçları kullanılarak homotopi teorisi, Fredholm integral denklem sistemleri, dinamik programlama ve kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Giriş kısmında sabit nokta kavramı açıklanarak konu hakkında literatür özeti verilmiştir. Banach daralma prensibi ve bu teoremin genellemelerinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde, öncelikle metrik uzay ve metrik sabit nokta kavramları açıklanmış, Banach daralma prensibi ve onun genellemeleri ispatsız ama örneklerle ifade edilmiştir. Daha sonra bu tez çalışmasında kullanılan bazı özel fonksiyonlar ile doğrusal olan, rasyonel ve çarpımsal ifade içeren dönüşümlerin kısaca tanımları verilmiş ve Banach daralma prensibinin uygulama alanları hakkında temel bilgiler sunulmuştur. Son olarak bazı genelleştirilmiş metrik uzaylar ve bu uzaylarda yapılan sabit nokta çalışmaları özet olarak sunulmuştur. Üçüncü kısımda, tezde ilk olarak tanımlanan kısmi modüler b  metrik uzaylarda yeni bir modifiye edilmiş interpolatif hemen hemen E  tipi daralmalar üzerine bir çalışmaya yer verilmiştir. Kısmi modüler b  metrik uzayların yapısal ve topolojik xxi özellikleri ayrıntılı biçimde incelenmiş, bu uzaylarda yakınsama, Cauchy dizileri ve tamlık kavramları ele alınmıştır. Kısmi modüler b  metrik fonksiyonu sürekli olmadığından bu özelliğin gerekli olduğu yerlerde kullanılmak üzere bir lemma ispatlanmıştır. Kısmi modüler b  metrik uzaylarda, interpolatif daralma kavramının, hemen hemen daralma, E  tipi daralma ve simülasyon fonksiyon özelliklerini birleştiren bu yeni tür daralmayı kapsayan sabit nokta teoremleri elde edilmiştir. Burada elde edilen sonuçlar kullanılarak homotopi teorisine bir uygulama yapılmıştır. Dördüncü bölümde yeni tanıtılan kısmi modüler b  metrik uzaylarda Suzuki-Proinov anlamında ortak sabit nokta teoremleri ve sonuçları elde edilerek, bu alanda gelişime katkı sağlanmıştır. Ayrıca dönüşümün sürekliliğine dayanmayan özgün örnek ve sonuçlar sunulmuştur. İkinci olarak bahsi geçen uzaylarda çarpımsal ifade içeren daralma dönüşümü için ortak sabit nokta teoremi ve dönüşümün sürekliliği varsayılmayan sonuçlar elde edilmiştir. Son olarak Fredholm integral denklem sistemleri için ortak bir çözümün varlığı ve tekliği belirlenmiştir. Beşinci kısımda kısmi modüler b  metrik uzaylarda yeni olarak genelleştirilmiş C  tipi Suzuki  daralma dönüşümleri tanıtılmış ve bu yapı üzerinde çarpımsal ifadeler içeren yeni ortak sabit nokta teoremleri elde edilmiştir. bağıntısının yapıya dahil edilmesi, sabit nokta teorisine hem yapısal hem de uygulama açısından yeni bir boyut kazandırmıştır. Burada ispatlanan teoremin sonuçlarını pekiştirmek için bir örnek ayrıntılı olarak incelenmiştir. Ayrıca dinamik programlama ve kesirli diferansiyel denklemler alanında birer uygulama sunulmuştur. Altıncı bölümde Archimedean olmayan   simetrik quasi modüler metrik uzaylar olarak adlandırılan yeni bir metrik yapı tanıtılmakta ve ayrıntılı biçimde incelenmektedir. Tanıtılan bu yapı simetri ve doğrusallık varsayımlarını bir modüler kontrol parametresi altında zayıflatarak modüler, quasi metrik ve asimetri kavramlarını kapsayan ve genelleştiren bir yaklaşım sunmaktadır. Ayrıca quasi modüler metrik tarafından üretilen topoloji ve yakınsaksama özellikleri kapsamlı biçimde incelenmekte, bu yapıların klasik metrik topolojilerle olan ilişkileri ortaya konulmaktadır. Bu yeni uzayda zayıflatılmış daralma iterasyonları altında Matkowski tipi çeşitli sabit nokta teoremleri elde edilerek bilinen sonuçlar daha genel ve asimetrik ortamlara genişletilmiştir. Yedinci kısımda, yeni tanıtılan Archimedean olmayan   simetrik quasi modüler metrik uzaylar üzerinde zayıflatılmış daralma koşulları altında Gornicki-Matkowski tipi sabit nokta teoremleri elde edilerek, klasik sabit nokta sonuçları asimetrik yapıda genişletilmektedir. Son bölümde tezde yapılan çalışmalarda elde edilen sonuçlara ve literatüre kazandırılan yapıların uygulanabilirliği ile ilgili önerilere yer verilmiştir.

Özet (Çeviri)

Fixed point theory is one of the most effective tools of modern mathematics, combining analytical precision with topological structure and geometric intuition. A fixed point theorem is a mathematical statement concerned with the existence and uniqueness of fixed points of certain mappings. The origins of fixed point theory date back to the late nineteenth century, particularly to the method of successive approximations used to establish the existence and uniqueness of solutions of differential and integral equations. This method is associated with prominent mathematicians such as Poincaré, Cauchy, Liouville, Lipschitz, Peano and Picard. Metric fixed point theory is a natural subfield of fixed point theory that primarily deals with methods and results involving metric properties. The first fundamental result in this area was obtained by S. Banach in 1922 and is known in the literature as the Banach Contraction Princible or the Picard-Banach-Caccioppoli theorem. This principle not only guarantees the existence of a fixed point of a mapping defined on a complete metric space, but also unlike other fixed point theorems, establishes the uniqueness of the fixed point and provides a method for its determination. This important theorem can be stated as follows:“Let X, d  be a complete metric space and let :XX be a mapping. If there exists a constant k 0,1 such that d  ,   kd  ,  for all , X, then the mapping has a unique fixed point in X .”The only significant drawback attributed to the Banach contraction principle is the requirement that the mapping be continuous on its entire domain. In fact, continuity is not assumed in the Banach fixed point theorem. Every Banach contraction mapping is continuous. In order to investigate the existence of fixed points for discontinuous mapping, R. Kannan introduced a weaker contraction condition and obtained a remarkable fixed point result. A Banach contraction mapping is uniformly continuous and the first significant step toward weakening this condition was taken by Kannan. He introduced a new contraction mapping that guarantees the existence of a fixed point without assuming continuity:       1 , , , , 0 2 d  k d  d   k  . Due to its wide range of applications, the Banach contraction principle has been generalized over time in main directions. These generalizations have been achieved either by extending the structure of the spaces on which the mappings are defined or by weakening the contractive conditions imposed on the mappings and if necessary, xxiv compensating for this weakening by equipping the space with a sufficiently rich structure. Moreover, many fixed point theorems have been obtained by combining these two approaches or by introducing additional conditions. In the first direction, b  metric spaces, partial metric spaces, partial b  metric spaces, modular metric spaces, modular b  metric spaces, quasi metric spaces and quasi modular metric spaces have been studied. In the second direction, the contributions of Kannan, Chatterjea, Ciric, Reich and Sehgal can be recalled. Although most of these linear contractions do not require the mapping to be continuous on the entire domain, they do require continuity at the fixed point. Motivated by this observation, B. E. Rhoades compared 250 different contraction definitions and showed that while most of them do not require continuity on whole space, all of them force the mapping to be continuous at the fixed point. Inspired by these observations, Rhoades posed the following interesting open problem:“Is there a contraction definition strong enough to guarantee the existence and uniqueness of a fixed point without requiring the mapping to be continuous even at the fixed point?”On the other hand, in order to extend the Banach contraction principle, many researchers aimed to replace the constant contraction coefficient k with a control function  satisfying  t   t for all t  0. Such contractions are generally of the form d  ,   d  ,  and are called nonlinear contractions, while the function  is referred to as a control function. Subsequently, many researchers extended the Banach contraction principle by modifying the properties of the control function. D. Wardowski, M. Jleli and B. Samet, J. Matkowski and T. Suzuki obtained more general contraction conditions by employing different types of control functions. This doctoral thesis consists of eight chapters. As generalizations of classical metric spaces, this thesis introduces for the first time partial modular b  metric spaces and non-Archimedean   symmetric quasi modular metric spaces and investigates their topological properties and fixed point theorems. Initially, generalized versions of several special conditions defined in metric spaces are introduced in different chapters of this thesis for the newly defined spaces. Specific examples are provided to reinforce the results of the theorems proved in these chapters. As applications, the results of the fixed point theorems for different types of mappings in these spaces are used to prove the existence and uniqueness of solutions in homotopy theory, system of Fredholm integral equations, dynamic programming and fractional differential equations. In the introduction, the concept of a fixed point is explained and a summary of related literature is presented. The Banach contraction principle and its generalizations are discussed. In the second chapter, metric spaces and metric fixed point concepts are first explained and the Banach contraction principle and its generalizations are presented without proofs but with illustrative examples. Then, brief definitions of some special functions used in this thesis, as well as mappings involving linear, fractional and quadratic(multiplicative) expressions are given and basic information on the application areas of the Banach contraction principle is provided. Finally, a brief overview of certain generalized metric spaces and fixed point studies conducted in these spaces is presented. xxv In the third chapter, a study on a newly introduced modified interpolative almost E  type contractions in partial modular b  metric spaces is introduced. The structural and topological properties of partial modular b  metric spaces are examined in detail and the notions of convergence, Cauchy sequences and completeness are discussed. Since the partial modular b  metric function is not continuous, a lemma is proved to use in situations where this property is required. In partial modular b  metric spaces, fixed point theorems are obtained for this new type of contraction that combines interpolative contraction, almost contraction, E  type contraction and simulation function properties. An application to homotopy theory is carried out using the results obtained. In the fourth chapter, fixed point theorems and results in the sense of Suzuki-Proinov are obtained in the newly introduced partial modular b  metric spaces, contributing to the development of the field. Moreover, original examples and results that do not rely on the continuity of the mapping are presented. Secondly, a fixed point theorem for contraction mapping for contraction mappings involving quadratic expressions is also obtained in these spaces without assuming continuity of the mapping. Finally, the existence and uniqueness of a common solution for systems of Fredholm integral equations are established. In the fifth chapter, newly generalized C  type Suzuki  contraction mappings are introduced in partial modular b  metric spaces and new common fixed point theorems involving quadratic expressions are obtained within this framework. The incorporation of the binary relation into the structure provides a new dimension to fixed point theory from both structural and applicational perspectives. To reinforce the results of the theorem proved, a detailed example is examined. In addition, applications in the fields of dynamic programming and fractional differential equations are presented. In the sixth chapter, a new metric structure called non-Archimedean   symmetric quasi modular metric spaces is introduced and examined in detail. This structure offers an approach that weakens symmetry and linearity assumptions under a modular control parameter and unifies and generalizes modular, quasi metric and asymmetric concepts. Moreover, the topology induced by the quasi modular metric and its convergence properties are thoroughly examined and their relationships with classical metric topologies are revealed. In this new space, various Matkowski-type fixed point theorems are obtained under weakened contraction iterations, extending known results to more general and asymmetric settings. Thus, despite the absence of continuity assumptions, the iterations of the mapping converge to a unique fixed point under a Matkowski-type contraction condition. Such behaviour is valid only for quasi modular structures and is not generally observed with classical metric fixed point theory. The space under consideration supports two topologies  and 1   forming a bitopological space in the sense of J.C. Kelly. This structure allows convergence and uniqueness results to be obtained under the T0 and T1 separation axioms, even without full symmetry or the Hausdorff separation condition. In classical fixed point theory (for example, in Banach or Sehgal type theorems), the uniqueness and convergence of the fixed point generally require the following conditions:  a symmetric (or at least nearly symmetric) distance structure,  continuity of the mapping, xxvi  the Hausdorff (T2) separation condition to guarantee distinguishability of points. In contrast, under the non-Archimedean   symmetric quasi modular structure, these requirements are significantly weakened:  convergence is possible even under asymmetry and one sided limits,  no continuity assumption is required,  even without the T2 property or full symmetry, bidirectional convergence under  and 1   is sufficient to ensure the uniqueness of the fixed point. Thus, this framework provides a tool for modeling asymmetric dynamic systems, transport networks and irreversible flows that cannot be captured by classical metric structures. In the seventh chapter, Gornicki-Matkowski type fixed point theorems are obtained under weakened contraction condition in the newly introduced non-Archimedean   symmetric quasi modular metric spaces, thereby extending classical fixed point results to asymmetric settings. In the final chapter, the results obtained in this study are summarized and suggestions regarding the applicability of the structures introduced into the literature are presented.

Benzer Tezler

Tez No
938898
Genelleştirilmiş metrik uzaylarda tek değerli ve çoğul değerli dönüşümler için bazı sabit nokta ve ortak sabit nokta teoremleri
Some fixed point and common fixed point theorems for single and multivalued mappings in generalized metric spaces
NESLİHAN KAPLAN KURU
Doktora
Türkçe
2025
Matematik Sakarya Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MAHPEYKER ÖZTÜRK
Tez No
152
Buğdayda farklı melezleme teknikleri kullanarak tohum tutma oranının saptanılması
Başlık çevirisi yok
İSMAİL TÜZÜN
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
Ziraat Uludağ Üniversitesi
Tarla Bitkileri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HALİS RUHİ EKİNGEN
Tez No
252
İzmir'de bazı yolların kapatılarak yaya bölgeleri oluşturma da kent peyzajını geliştirme açısından yeniden planlanması üzerinde araştırmalar
Başlık çevirisi yok
BAHAR TÜRKYILMAZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1985
Şehircilik ve Bölge Planlama Ege Üniversitesi
Şehir ve Bölge Planlama Ana Bilim Dalı
Tez No
102
Diyabetus mellitus'da gözlenen mikrovasküler komplikasyonların prostaglandinler ile olan ilişkisi
The Relation of microvaskular complications observed in diabetes mellitus with prostoglandins
CANAN NEBİGİL
Doktora
Türkçe
1985
Eczacılık ve Farmakoloji Cumhuriyet Üniversitesi
Farmakoloji Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. YUSUF SARIOĞLU
Tez No
202
Bazı esterlerin kinetik incelenmesi ve termodinamik parametrelerin belirlenmesi
Kinetic study and detesmination of thermodnamic parameters of some esters
İBRAHİM TAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
Kimya Mühendisliği Uludağ Üniversitesi
Kimya Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA CEBE

Geri Dön