Non lineer dalga denklemleri için split-step fourier metodları
Split-step fourier methods for the nonlinear wave equations
- Tez No: 101140
- Danışmanlar: PROF. DR. HÜSNÜ ATA ERBAY
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Dalga denklemleri, Fourier dönüşümü, Schrödinger denklemi, Split-step, Wave equations, Fourier transformation, Schrödinger equation, Split-step
- Yıl: 2000
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
NONLINEER DALGA DENKLEMLERİ İÇİN SPLIT-STEP FOURIER METODLARI ÖZET Bu çalışmada değişik nonlineer dalga denklemleri farklı split-step Fourier şemaları ile sayısal olarak çözülmüştür. Burada gözönüne alınan nonlineer dalga denklemlerinin bazıları, ters saçılma metodu anlamında integre edilebilir olmayan denklem olarak bilinirler. Ters saçılma metodu nonlineer dalga denklemlerinin bazı analitik çözümlerini, yani soliton çözümlerini, elde etmek için kullanılmıştır. Bununla beraber, ters saçılma metodunun genel bir araç olarak faydalılığı integre edilebilir denklemler ile sınırlıdır. Nonlineer dalga denklemlerinin sayısal çözümü son yıllarda birçok çalışmanın konusu olmuştur. Korteweg-de Vries (KdV) denklemi ve Nonlineer Schrödinger (NLS) denklemi gibi, bazı iyi bilinen integre edilebilir denklemler için birçok sayısal şema önerilmiş olmasına rağmen, integre edilebilir olmayan denklemler için sayısal analiz literatürü oldukça azdır. Nonliner dalga denklemleri için kullanılmış sayısal metodlardan biri split-step metodudur. Split-step metodundaki esas fikir orijinal problemi alt problemlere ayrıştırmak ve orijinal problemin çözümüne alt problemleri ardışık olarak çözerek yaklaşmaktır. Metodun ilginç yanı herbir alt problemin açık olarak integre edilebilir olması gerçeğinde yatar. Bununla beraber, kullanılacak operatör ayrıştırmasının seçimi sadece ele alman özel probleme bağlıdır ve genel olarak birşey söylemek zordur. Nonlineer dispersif dalga denklemleri için, yani şimdiki çalışmada çözecek olduğumuz gibi denklemler için, bir uygun yaklaşım orijinal problemi sırasıyla sadece dispersif ve sadece nonlineer etkileri hesaba katan lineer ve nonlineer alt problemlere ayrıştırmaktır. Şimdiki çalışmada, ilk olarak, NLS denkleminin ve Genelleştirilmiş Nonlineer Schrödinger (GNLS) denkleminin sayısal çözümleri için split-step Fourier metodu kullanılmıştır. Daha sonra, split-step metodu Kompleks Modifiye Korteweg-de Vries (CMKdV) denkleminin çözümüne genişletilmiştir. Bu çalışmada ele alınan nonlineer dalga denklemlerine karşı gelen hem lineer hem de nonlineer alt problemlerin uzaysal ayrıklaştırmaları için Fourier metodu kullanılmıştır. Bölüm 1, kısmi türevli diferansiyel denklemler için yaygın olarak kullanılmış olan sayısal metodlarm kısa bir tartışmasını ve bu sayısal metodlarm nonlineer dalga yayılımı problemlerinde kullanılmasındaki amacı içerir. Keyfi bir fonksiyonun sürekli ve ayrık Fourier açılımlarının klasik bir sunuşu Bölüm 2'de verilmiştir. ivBölüm 3'de, ilk olarak, genel bir evolüsyon denklemine uygulanmış gibi split-step metodu tanıtılmış ve metodun birinci, ikinci ve dördüncü mertebe versiyonlarına karşı gelen ayrıştırma formülleri verilmiştir. Daha sonra split-step Fourier metodunun iwt + pwxx + q \w\2 w = 0 - oo < a; < oo NLS denklemi için nasıl formüle edileceği gösterilmiştir. Burada w, x uzaysal koordinatının ve t zamanın bir kompleks değerli fonksiyonudur, p ve q reel parametrelerdir ve i ve î alt indisleri türetme işlemini gösterir. Split-step şemalarının zamanda beklenen birinci-mertebe, ikinci-mertebe ve dördüncü-mertebe yakınsamayı gösterip göstermediğini test etmek için bazı sayısal deneyler gerçekleştirilmiştir. Sayısal şemaları karşılaştırmak için tek bir soliter dalganın hareketi ile ilgili klasik problemler kullanılmıştır. L2 hatası ve Loo hatasının azalma mertebelerinin zamandaki integrasyon için kullanılan ayrıştırma formüllerine ait olanlar ile aynı olduğu gözlenmiştir. Split-step Fourier şemaları hem korunum hataları hem de hesaplama zamanı açısından da karşılaştırılmıştır. Sonuçlar NLS denklemine ait bir korunan büyüklüğün split-step şemaları tarafından çok iyi korunduğunu göstermiştir. Ayrıca, beklenileceği gibi, dördüncü mertebe şema diğerlerinden daha doğru fakat bilgisayar zamanı açısından daha pahalıdır. Son olarak, ayrıştırma formüllerinde lineer ve nonlineer operatörlerin yerdeğiştirmesinin sayısal şemaların mertebelerini etkilemediği sayısal olarak doğrulanmıştır. Bölüm 4'de, qc, qq, qm ve qu reel parametreler olmak üzere iwt + wxx + qc \w\2 w + qq \w\4 w + iqm(\w\2)xw + iqu \w\2 wx = 0 şeklinde verilen GNLS denklemini çözmek için dört farklı split-step Fourier metodu kullanılmıştır. Önerilen bütün metodlar tamamen açık metodlar olup, birinci mertebe ayrıştırma yaklaşımını kullanırlar. Metodlar bir çok sayısal deney yardımıyla karşılaştırılmıştır. Metodları doğruluk ve hesap maaliyeti açılarından karşılaştırmak için, düzlem dalga hareketi, tek bir soliter dalga hareketi ve iki soliter dalganın çarpışması ile ilgili klasik problemler kullanılmıştır. Çözümlerin doğruluğunun bir işareti olarak korunan büyüklüklerin evolüsyonuna özel bir ilgi gösterilmiştir. En iyi verim, verilen denklemin katsayılarından iki tanesinin basit bir cebirsel bağıntıyı sağlama koşuluyla yeni bir GNLS denklemine dönüştürüldüğünde elde edilir. Bölüm 5'de, a ve /3 reel parametreler olmak üzere wt + a(\ w |2 w)x + /3wxxx = 0, - oo < # < oo şeklinde verilen CMKdV denklemini sayısal olarak çözmek için üç farklı split-step Fourier şeması kullanılmıştır. Üç şema arasındaki esas fark çözümdeki eksponansiyel operatörü eksponansiyel operatörlerin çarpımı şeklinde yazmak için kullanılmış ayrıştırma yaklaşımının mertebesindedir. Uzay değişkeni hem lineer hem de nonlineer problemler için Fourier metodu yardımıyla ayrıklaştırılmıştır. Nonlineer alt problem bir dördüncü mertebe Runge-Kuttaşemasını kullanarak yaklaşık olarak değerlendirilirken, lineer alt problem tam olarak çözülmüştür. Sayısal şemalar esas olarak önerilen split-step Fourier metodunun birinci mertebe, ikinci mertebe ve dördüncü mertebe versiyonlarıdır. Önerilen split-step şemalarının verimliliğini ölçmek için bazı sayısal deneyler gerçekleştirilmiştir. Sayısal şemaların doğruluğuna karar vermek için, sabit polarizasyon açısına sahip tek bir soliter dalga durumunda şimdiki sayısal şemaları kullanarak elde edilen sayısal çözümler analitik çözümler ile karşılaştırılmıştır. Sayısal sonuçların literatürde rapor edilmiş sonuçlar ve analitik çözümler ile iyi bir uyum içerisinde olduğu gözlenmiştir. Önerilen split-step şemalarının, beklenildiği gibi, zamanda birinci mertebe, ikinci mertebe ve dördüncü mertebe yakınsama gösterdiği sayısal olarak doğrulanmıştır. Ayrıca, hem korunan büyüklükleri hem de hesap maaliyetlerini hesaplayarak sayısal şemaların verimliliği takip edilmiştir. Tek bir soliter dalganın hareketi hakkındaki sayısal deneyler, dördüncü mertebe split-step Fourier şemasının doğruluğun hesap maaliyetinden daha önemli olduğu durumlar için önerilebileceğini gösterir. Ayrıca, analitik çözümün bilinmediği, ortogonal polarizasyonlara sahip iki soliter dalganın çarpışması problemi sayısal olarak incelenmiştir. Çarpışmadan sonra soliter dalgaların polarizasyonlarının neredeyse tamamen yerdeğiştirdiği gözlenmiştir. Diğer bir gözlem, çarpışmadan sonra kısa dalgayı takip eden bir parçanın mevcut olmasıdır. Bu problem için bir analitik çözüm mevcut olmadığından, korunan büyüklüklerdeki sayısal hataların evolüsyonu dördüncü mertebe split-step şemasının doğruluğunu test etmek amacıyla sunulmuştur. Sonuçlar korunan büyüklüklerin zamanla değişmediğini gösterir ve bu davranışın sayısal sonuçlar için önemli bir test işlemini gördüğü kabul edilir. Son olarak, aynı yönde polarize olmuş iki soliter dalga arasındaki çarpışma sayısal olarak incelenmiştir. Bu problem için çarpışmadan sonra soliter dalgaların polarizasyonlarının aynı kaldığı gözlenmiştir. Sayısal deneyler burada ele alınmış nonlineer dalga denklemleri için split-step Fourier metodunun oldukça doğru çözümler ürettiğini gösterir. Doğal olarak, dördüncü mertebe şemaya ait algoritma birinci ve ikinci mertebelere ait algoritmalardan hesap maaliyeti olarak daha pahalıdır. Bu fark birinci mertebe ve ikinci mertebe ayrıştırma yaklaşımlarına ait hesapların, sırasıyla, sadece iki ve üç eksponansiyel operatörün hesabına gerek duymasından kaynaklanır. Daha yukarı mertebe bir ayrıştırma yaklaşımının doğruluğu arttırmak için kullanıldığı, ancak bunun artan hesap zamanı pahasına yapıldığı vurgulanması gerekir. Ayrıştırma yaklaşımının uygun bir seçimi, birbirleri ile rekabet eden bu etkiler arasında bir dengenin bulunması anlamına gelir. vı
Özet (Çeviri)
SPLIT-STEP FOURIER METHODS FOR NONLINEAR WAVE EQUATIONS SUMMARY In this study various nonlinear wave equations are solved numerically by different split-step Fourier schemes. Some of the nonlinear wave equations considered here are known as nonintegrable equation in the sense of the inverse scattering method. The inverse scattering method has been used to obtain some analytical solutions, i.e. soliton solutions, of nonlinear dispersive wave equations. However, its usefulness as a general tool is limited to integrable equations. The numerical solution of nonlinear wave equations has been the subject of many studies in recent years. Although many numerical schemes have been proposed for some well-known integrable equations, such as the Korteweg-de Vries (KdV) equation and the nonlinear Schrödinger (NLS) equation, there is a little numerical analysis literature for nonintegrable equations. One of the numerical methods employed for nonlinear wave equations is the split-step method. The basic idea in the split-step method is to decompose the original problem into subproblems and then to approximate the solution of the original problem by solving the subproblems sequentially. The novel aspect of the method lies in the fact that each subproblem is explicitly integrable. However, the choice of operator splitting one should use depends solely on a particular application, and generally it is hard to tell. For nonlinear dispersive wave equations, such as the equations that we will be solving in the present study, an appropriate approach is to decompose the original problem into linear and nonlinear subproblems which take into account purely dispersive and purely nonlinear effects, respectively. In the present study, we first use the split-step method for the numerical solutions of the NLS equation and the generalized nonlinear Schrödinger (GNLS) equation. Then we consider the extension of the split-step method to the solution of the complex modified Korteweg-de Vries (CMKdV) equation. We employ a Fourier method for the spatial discretizations of both linear and nonlinear subproblems corresponding to the nonlinear wave equations considered here. Chapter 1 consists of a brief discussion of numerical methods that are used extensively for partial differential equations and a motivation for their use in nonlinear wave propogation problems. A classical presentation of the continuous and discrete Fourier expansions of an arbitrary function is given in Chapter 2. viiIn Chapter 3, we first present the split-step method as applied to a general evolution equation and give the splitting formulas corresponding to first-order, second-order and fourth-order versions of the method. Then we show how the split-step Fourier method can be formulated for the NLS equation iwt + pwxx + q \w\2 w = 0 - oo < a; < oo where w is a complex valued function of the spatial coordinate x and the time t, p and q are real parameters and the subscripts t and x denote differentiation. To test whether the split-step schemes exhibit the expected first-order, second-order and fourth-order convergence in time we perform some numerical experiments. Classical problems concerning the motion of a single solitary wave is used to compare the numerical schemes. It is observed that the orders of decay of the Li error and the L^ error are the ones of the splitting formulae employed for the temporal integration. The split-step Fourier schemes are also compared in terms of both conservation errors and computing time. The results show that the conserved quantity of the NLS equation is very well preserved for the split-step schemes. Furthermore, as might be expected, the fourth-order scheme is more accurate but more expensive than the others. Finally, it has been confirmed numerically that an interchange of the linear and nonlinear operators in the splitting formulae does not affect the orders of the numerical schemes. In Chapter 4, we use four different split-step Fourier methods for solving the GNLS equation iwt + wxx + qc \w\2 w + qq \w\4 w + iqm(\w\2)xw + iqu \w\2 wx = 0 where qc, qq, qm and qu are real parameters. All the methods proposed here are fully explicit and use the first-order splitting approximation. We compare the methods through a number of numerical tests. Classical problems concerning the motion of plane wave, a single solitary wave and the interaction of two solitary waves are used to compare the methods in terms of accuracy and the computational cost. Particular attention is paid to the evolution of the conserved quantities as an indicator of the accuracy. The best performance is obtained by transforming the given equation to a new GNLS equation where two of the coefficients satisfy a simple algebraic relationship. In Chapter 5, three different split-step Fourier schemes are used to solve numerically the CMKdV equation wt + a(\ w \2 w)x + Şwxxx = 0, - oo < a: < oo where a and j3 are real parameters. The main difference among the three schemes is in the order of the splitting approximation used to factorize the exponential operator. The space variable is discretized by means of a Fourier method for both linear and nonlinear subproblems. The linear subproblem is treated exactly whereas the nonlinear subproblem is evaluated approximately using a fourth order Runge Kutta scheme. The numerical schemes are basically the first-order, viiisecond-order and fourth-order versions of the split-step Fourier method proposed. To gain insight into the performance of the suggested split-step schemes some numerical experiments are performed. The numerical solutions obtained using the present numerical schemes for the case of a single solitary wave with constant polarization angle are compared with the exact solutions in order to assess the accuracy of the schemes. It is observed that the numerical results are in a good agreement with the exact solutions and the results reported in the literature. It has been verified numerically that the proposed split-step schemes exhibit the expected first-order, second-order and fourth-order convergence in time. In addition, the performance of the numerical schemes has been monitored by computing both the conserved quantities and the computational costs. The numerical experiments about the motion of a single solitary wave show that the fourth-order split-step Fourier scheme is advisable in situations where accuracy rather than the computational cost is of prime importance. Furthermore, the collision of two solitary waves with orthogonal polarizations, whose behaviour is still analytically unknown, is investigated numerically. It has been observed that the polarizations of the solitary waves are approximately interchanged after the collision. In addition, there is a tail following the shorter one after the collision. Since an analytical solution is not available for this problem, the evolution of the numerical errors in the conserved quantities are presented as a numerical check on the accuracy of the fourth-order split-step scheme. The results show that the conserved quantities remain constant with respect to time and this behaviour provides a valuable check on the numerical results. Finally, the collision between two solitary waves polarized in the same direction is studied numerically. It has been observed that the polarizations of the solitary waves remain the same after the collision. Numerical experiments show that the split-step Fourier method provides highly accurate solutions for the nonlinear wave equations considered here. Naturally the algorithm for the fourth-order scheme is more expensive than the ones for the first-order and the second-order schemes. The difference lies in the fact that the computation of the fourth-order splitting approximation requires the calculation of nine exponential operators whereas the computations of the first-order and second-order splitting approximations require the calculation of two and three exponential operators, respectively. It should be stressed that a higher-order splitting approximation is introduced to increase the accuracy and this is done at the cost of increasing computational time. A proper choice of the splitting approximation is a compromise between these competing effects. IX
Benzer Tezler
- İçerisinde akışkan bulunan viskoelastik ve elastik tüplerde nonlineer dalga modülasyonu
nonlinear wave modulation in viscoelastic and elastic thin tubes filled with an inviscid fluid
GÜLER AKGÜN
- Non lineer uzun dalga denklemlerinin dalga yayılması ve kırılması problemine uygulanması
Application of nonlinear long wave equations to the propagation and breaking problem
ZELİHA SELEK
- Local intrinsic modes: a new method to solve non-separable wave problems
Başlık çevirisi yok
LEVENT SEVGİ
Doktora
İngilizce
1990
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. ERCAN TOPUZ
- İki boyutlu magneto-hidrodinamik denklemlerinin üçgensel örgülerde dengesizlik dağılımı metoduyla nümerik çözümleri
The Numerical solutions of two dimensional magneto-hydrodynamic equations with fluctuation splitting schemes on triangular grids
ŞÖLEN BALCI
Doktora
Türkçe
2000
Fizik ve Fizik MühendisliğiMarmara ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. NECDET ASLAN