Yerel olmayan elastisite denklemlerinin simetri grupları
Symmetry groups of equations of nonlocal elasticity
- Tez No: 100682
- Danışmanlar: PROF.DR. VURAL CİNEMRE
- Tez Türü: Doktora
- Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
- Anahtar Kelimeler: Denklemler, Diferensiyel denklemler, Lie grupları, Simetrik gruplar, Equations, Differential equations, Lie groups, Symmetric groups
- Yıl: 1999
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
YEREL OLMAYAN ELASTISITE DENKLEMLERİNİN SİMETRİ GRUPLARI ÖZET Bu çalışmada amaç, integro-diferansiyel denklem sistemlerine ait Lie nokta simetri gruplarının oluşturulması ve bu simetri gruplarına bağlı olarak bir sınıflandırmaya gidilmesidir. Bir problemin kabul ettiği Lie grupları bakımından sınıflandırılması büyük önem taşımaktadır. Özellikle son yirmi yıl içinde denklem ya da denklem sistemlerine ait Lie simetrilerinin araştırma teknikleri önemli ölçüde geliştirilmiştir. Bununla birlikte integro-diferansiyel denklem sistemleri için genel bir yöntem verilememektedir. Fakat yerel olmayan elastisite ya da visko elastisite problemleri gibi mekanikte karşılaşılan pek çok problemin matematiksel formülasyonu integro diferansiyel denklem yapısaldadırlar. Visko-elastisiteye ait denklemler S.V. Meleshko tarafından incelenmiş ve probleme ait bir sınıflandırmaya gidilmiştir. A.V.Bobylev, S.I. Senashov, V.B. Taranov, V.N.Chetverikov ve A.G. Kudryavtsev integro-diferansiyel denklemler içeren problemler üzerinde çalışmalarda bulunmuş diğer matematikçilerdir. Birinci bölümde Lie gruplarının temel özellikleri hakkında genel bir değerlendirmede bulunulmuş ve integro-diferansiyel denklemlerin simetri grupları hakkında açıklayıcı bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, Navier denklemlerine ait Lie grupları belirlenmiş ve Lie gruplarının sınır değer problemlerine bir uygulanması olarak denkleme ait simetriler kullanılarak Boussinesq probleminin çözümü elde edilmiştir. Bilindiği gibi lineer homogen izotrop bir ortamda elasto-statik Navier denklemleri aşağıdaki formda verilebilir: (X, + n.)grad divw+uAH+p/>=p« (1) Burada X,\ı Lam6 sabitlerini, u yer değiştirme vektörünü, p yoğunluğu ve/> kütle kuvvetlerini göstermektedir. (r,(p,z) silindirik koordinatlarda eksenel simetrik bir problem için denklem sistemi eksene paralel ve eksene dik u,w ile gösterilen bileşenlerden oluşan bir denklem sistemine indirgenir. Eğer sonsuz küçük üreticiye ait ifadenin ikinci uzanımı Navier denkleminin homogen olan kısmına uygulanırsa denkleme ait belirleyici denklemlere ulaşılır ve bu denklemlerin çözülmesi ile denkleme ait aşağıdaki simetri grubunun sonsuz küçük üreticilerine ulaşılır: Xx=rdr+zdz, X2=udu+wdw (2)Homogen olmayan denklem sistemi için aşağıdaki şekilde tanımlanan sadece tek bir sonsuz küçük üretici söz konusudur. X = XX-X2 (3) Yukarıda elde edilen simetri grupları kullanılarak Boussinesq problemine ait çözüme ulaşılır: Mx(r2+z2J +Arz(r2+Kz2\l + ^- / 2, v 2\ -M=-“ 2V ^ r\»M=A<r -<*-$') (4) r(r2+z2) (r2+z2p burada j_(l-2v)(l + v)Fj Mı_(l-2v)(l + v)F 2kEk ' ' 27C-E dır. Üçüncü bölümde yerel olmayan elastisitedeki bir boyutlu elastodinamik probleme ait Lie simetri grupları araştırılacaktır. Bu çözüm içinde ele alınan yöntem, bir fonksiyonlar kümesi bir denklem sisteminin çözümü ise bu fonksiyonlara ait başlangıç değerlerinin de aynı denklem sistemini sağlayacağı esasına dayanmaktadır Yerel olmayan homogen elastisiteye ait denklem sistemi aşağıdaki şekilde verilebilir: dtkl(Xl,x2,x3;t) _ d\, x dxl ~P dt2 ^'*2'*^ (5) hı (*ı,x2,x3;t)= Xe^u + 2\xea +j(X'e'rr8kl + 1v!e'a )dv' burada tkl gerilme tansörünü, uk yer değiştirme vektörünü, eu şekil değiştirme tansörünü, p yoğunluğu, t zamanı, X,[i Lame sabitlerini, X',\i' homogen ve izotrop cisimler için yerel olmayan malzeme sabitlerini göstermekte ve e' -e(x',t) olarak alınmaktadır. Özel bir hal olarak bir boyutlu yerel olmayan elastisiteyi içeren aşağıdaki integro-diferansiyel denklem sistemini göz önüne alacağız: 00 <p(o(x, t)) = e(x, t) + JK(x, x)e(x, t)dx, cp' * O (6) -00 Burada x,t bağımsız değişkenleri, e,v,a bağlı değişkenleri, K(x,i) ve cp(o) problemin verilerini göstermektedir. Tüm çalışma boyunca ele alman problemlerde çözümün varlığı kabulü yapılmaktadır. Bu suretle denklemler verilen bir t = t0 amnda geçerli olmaktadır. Öncelikle sonsuz küçük üreticiye ait birinci uzanım bir vıuboyutlu yerel olmayan elastisite denklemlerine uygulanır ise belirleyici denklemler elde edilir ve bu belirleyici denklemlerin çözülmesi ile aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi bir sınıflandırma oluşturulur: Tablo 1 Simetri Grubu Sınıflandırması Burada xx=dt, x2=dx, x3=dx, x4=xdx+tdt Y5 = Ktdt + K.vdv + (2Ke + y\x{x))de + ed0, Y6 = Ktdt + kvöv + 2aıc|i(x)ae + (p - 2ıca)öa 77 =^tdt +^vdv +(pe + lvL(x))de +(ao-Py)aaJ Xs =ede +vdv +oö0 X9 = tdx + xdt - (a + e)dv - 2vde - 2vda (2k.g} cp, = a + exp ^ e ; (p3 =j + e(X-ao) °.,- *l, a*0, k#0, cp2 =y-aln^P-2Ko), ?1 P dır ve K,y,e,P,a keyfi sabitler. Dördüncü bölümde, yerel olmayan elastisitenin bir boyutlu eksenel simetrik problemi incelenmiştir. Bu amaçla ele alınan denklem sistemi aşağıdaki yapıdadır: vr = w, v, = u, wt = ur (\ + 2\ıİwr - Tv + -wUJK(r,sİw(s)+-v{s) (7) sds - put = 0 burada u,v,w bağlı değişkenler, r bağımsız değişken ve t zaman değişkenidir. IXBaşlangıç koşullan kullanılması ve elde edilen belirleyici denklemlerin çözülmesi ile aşağıdaki simetri grubunun sonsuz küçük üreticisine ulaşılır: X = d, (8) Beşinci bölümde, yerel olmayan elastisitenin iki boyutlu elasto-statik problemin simetrileri elde edilmiştir. Bu amaçla ele alman integro-diferansiyel denklem sistemi aşağıdaki yapıdadır: e, (x, y) - fx (x, y\ gx (x, y) = hy (x, y). + J* JKy (x-r,y- sXx(e(r, s) + g(r, s)) + 2\ıg(r, s))drds - -00-00 00 00 j JKx(x-r,y-sXıx(f(r,s)+h(r,s)))drds = O (9) -00-00 00 00 J JX (x - r, y - sXx(e(r, s) + g(r, s)) + 2\xe{r, s))drds + -00-00 00 00 J JKy(x-r, y-sXn(f(r, s)+h(r,s)))drds = O -00-00 burada e,f,g,h bağlı değişkenler ve x,y bağımsız değişkenlerdir. Belirleyici denklemlerin çözülmesi ile elde edilen simetri grubunun sonsuz küçük üreticileri aşağıdaki yapıdadırlar: X,=xdx+ydy, X2=dx+dy, X3=ede+Jdf+gdg+hdh (10) Son bölümde yerel olmayan elastisitenin ik boyutlu elastodinamik problemi için bir sınıflandırma oluşturulması amaçlanmıştır. Ele alınan denklem sistemi aşağıdaki yapıda olduğu gibidir: vx=et, wy=f”mx+ky=vt, kx+hy=wt 00 00 <p, («) = (X + 2V)a{x,y,t) + 2Vf(x,y,t)+ J JK(x, y,r,sft\ + 2u>(>% s,t) + 2Vf{r,s,t)}lrds -oo-oo 00 00 (p, (h) = (X + 2ıı)f(x, y, t) + 2\xe{x, y,t)+ j j K(x, y, r, s\{X + 2u)/(r, s, t) + 2ue(r, s, t)}tnts -00-00 00 00 <p2 (k) = \ı{f(x, y, t) + e(x, y, t)) + j JK(x, y, r, s\ı{f(r, s, t) + e(r, s, thirds (11)burada v,w,e,f,m,k,h bağlı değişkenler, x,y bağımsız değişkenler,/ zaman değişkeni ve q>l,(p2,K(x,y,r,s) problemin verileridir. Başlangıç fonksiyonları kullanılarak ve belirleyici denklemler çözülerek ele alınan problem için bir grup sınıflandırması aşağıdaki gibi teşkil edilir: Tablo 2 Simetri Grubu Sınıflandırması burada *ı=ö" Y2=%x{y)dv, Y3=%2(x)dw, X4=8x+dy, Xs=xdx+y8y+tdt Y6=-^tdt+x3(x,y)de+x4(x,y)df+^vdv+^-wdw+(ylk + Sl)dk+(ylm + Pl)dn + (y}h + Hl)dh 77 = -!±td, +(%ı(x,y)-y2e)de +kA{xty)-yj)bf +^-vdv +^-wdw+S,dk + Hxdh+Pxdm Ys=~ (y3 - Y4 K + - (y3 + Y4 )vö, + - (y4 + Y3 V^w + (x3 (*. y) + Y4e& + (X4(x,y)+y4f)df+{y3k + Sl)dk+.(y3m + Pl^m+(y3h + Hl)dh Y9 = vdv +wdw +ede +fdf +kdk +hdh +mdm cp| (m) = 8: + Kİn(y,m + p} ) k * 0, q>2 (m) = e + exp(y2m) y2 * 0 (Pı(m) = a + (/?! +my3)Y3/74 Y4*0 dır ve y,,y2,y3,y4,5'1,//'1,P],51,E,a keyfi sabitlerdir. XI
Özet (Çeviri)
SYMMETRY GROUPS OF EQUATIONS OF NONLOCAL ELASTICITY SUMMARY In this study, the aim is to investigate the Lie point symmetries of integro-differential equations and get a classification. The classification of a problem with respect to Lie symmetries it accepts for different data is very important. The research techniques of Lie symmetries of an equation or a system of equations were improved in last twenty years. However the general methods cannot be given for a system of integro- differential equations. Nevertheless some mathematical formulations in mechanics produce integro- differential equations such as problems of visco-elasticity and nonlocal mechanics. The equations of visco-elasticity are handled and their classification with respect to Lie symmetries are done by S. V. Meleshko. A. V. Bobylev, S. I. Senashov, V. B Taranov,V. N. Chetverikov, A. G. Kudryavtsev are some other mathematicians who have studied problems with integro-differential equations. In part 1, we introduce the general properties of Lie groups and give information about the calculation of the Lie point symmetries of system of integro-differential equations. In part 2, Lie groups of Navier equations are determined and the solution of Boussinesq problem is obtained by using its symmetries as an application of Lie groups to the boundary value problems. As is known the Navier equations for the elasto-statics of linear homogeneous isotropic media is given in the form: (A, + u)grad divM+uA«+p/>=p« (1) where X,\i are Lame constants, u is displacement vector, p is mass density and/; is body force for unit mass. For an axially symmetric problem in cylindrical coordinate system (r,<p,z) the system of equations reduces to the equations for radial and perpendicular components shown by u,w. If the second prolongation of JSf is applied to the homogeneous part of the Navier equation, we reach the determining equations. Then we get the symmetry group of the equation solving the determining equations as follows: Xt=rdr+zdz, X2=udu+wdw (2) For non-homogeneous system we have only one symmetry which is X = X,-X2 (3)Solving the system of the ordinary differential equations and substituting the conditions on the solution we get the solution of the Boussinesq problem: M,(r2+z2)2 + Arz(r2+Kz2\ll + ^- /2,, 2\ r(r2+z2) (r2+z2p where ^(l-2v)(l + v)F^ A/ (l-2v)(l + v)F 27CİİK ' ' 27t.fi' In part 3, we investigate Lie symmetry group of the one dimensional elastodynamics problem of nonlocal elasticity and get a group classification of the problem. The system of equations of nonlocal homogeneous elasticity can be given as follows: â?“P ör2 «'*»?*.'' (5) where fH is the stress tensor, uk is the displacement vector, eH is the strain tensor, p is the mass intensity, t is the time, X,u,are Lame constants, A/,u/ are nonlocal material constants for homogeneous and isotropic bodies and e' - e(x',t). We take up the following system of integro-differential equation that includes the one-dimensional nonlocal elasticity as a special case: (6) 00 (p(o(x, t)) = e(x, t) + JK(x, x)e(x, t)dx, cp' * 0 where x,t are independent variables, e,v,o are dependent variables, K(x,i) and cp(a) are data of the problem. The existence of the solution is assumed throughout the work. Thereby the equations are valid at a given moment t = t0. If the first prolongation is applied to one-dimensional nonlocal elasticity equation we get the determining equations. Solving the determining equations we obtaint a classification as follows: XlllTable 1 Symmetry Group Classification where Xx=dt, X2=dx, X3=dx, X4=xdx+tdt Y5 = Ktdt + kv3v + (2k*? + fii(x))de +edc, Y6=Ktd,+ Kvdv + 2aicu(x)de + (J3 - 2ko)ö0 Y7 =^YLtdt +^v5v +fae + Xli(x))de +(aa-py)aa3 Xg =ede +vdv + ad0 Xg = tdx + xdt - (a + e)dv - 2vde - 2vdc (pj=a + exp, k*0, (p2 =y-aln(J3-2Ka), cp3 = y + e(X-aa)~a, - &l, a*0 Is J a and K,y,e,P,a are arbitrary constants. In part 4, the one-dimensional axially symmetric problem of nonlocal elastodynamics is investigated. The system of equations is as follows: vr = w, v, = u, wt = ur (X + 2uJ wr - -v + -w \ + JK(r,si w(s)+-v(s) \sds-put = 0 (7) where u,v,w are dependent variables, r is the independent space variable and t is time variable. Using the initial conditions and applying the first prolongation to the system of equations we obtain the determining equations and solving the determining equations we get the following result: X = d, (8) XIVIn part 5, we obtain the symmetries of the two-dimensional elastostatics problem of the nonlocal elasticity. The equations are taken as follows: ey(x,y) = fx{*,y\ gx(x>y) = K(x>y) ' + J JKy (x - r, y - s%k(e(r, s) + g(r, s)) + 2\ig(r, s))drds -oo-co oo oo J”\Kx{x-r,y -sXix(f(r,s)+h(r,s)))drds = 0 (9) -oo-co OO oo J JX (* - r, y ~ s)fr{e(r, s) + g{r> s)) + 2w(r, s))drds + -00-00 00 00 { JKy(x-r, y-s)hi(f(r,s)+h(r,s)))drds = 0 -00-00 where e,f,g,h are dependent variables and x,y are independent variables. The symmetry groups obtained solving the determining equations are: Xx=xdx+ydy, X2=dx+8y, X,=ede+fdf+gdg+hdh (10) In the last part, we get a group classification of two-dimensional elastodynamics problem of nonlocal elasticity. The system of equations is as follows: vx=et, wy=ft, mx+ky=vt, kx+hy=wt 00 00 cp, (m) = (X + 2n>(x, y, t) + 2u/(x, y, t) + j jtf(x, y, r, s\(X + 2^>(r, s, t) + 2\if{r, s, t))lrds -00-00 00 oo <p, (h) = (X + 2\i)f{x, y, t) + 2\ie{x, y,t)+ j $K(x, y, r, sl(X + 2\i)f{r, s, t) + 2]xe{r, s, t)}lrds <p2(k) = Vi(f(x>y>t)+e(x>y>t))+ J JK(x,y,r,s)ıı{f(r,s,t)+e(r,s,t))drds -00-00 (11) where v,w,e,f,m,k,h are dependent variables, x,y are independent variables, t is the time variable and q>x,<p2,K(x,y,r,s) are data of the problem. We get the following symmetry group classification using initial functions and solving determining equations: XVTable 2 Symmetry Group Classification where Xx=dt, Y2=%l(y)dy, Ys=%2{x)dw, X4=dx+dy, X5 =xdx +ydy +tdt y6 =-Jjtd' +x3(*.7)9. +%A*,y)Pf +Yvdv +J£wd« +(yi*+5,,& +(ylm+pl)d" Zl 2 + (y1h + H1)dh Y7 = -l±tdt +&,(x,^)-r2e)9. +6c4(*^)- 7,7)9/ +^-v5v + ^SM Yt = -(y3 -r4>^ + 2^3 + Y^v +-(Y4 +Y3 V^ +&3(>f.^)+Y4«)9. + &4(*^)+Y4/^/ + (y3* + S,)ö* + (y3/« + ^X, +(l3h + Hx)dh X9 = vdv +wdw+ede +Jdf +kdk +hdh +mdm and yi,y2,y3,y4,Sl,Hl,Pu81,e,a are arbitrary constants. xvi
Benzer Tezler
- Genelleştirilmiş elastik bir ortamda kuple yüksek mertebe nonlinear schrödinger denklemleri
Coupled higher-order nonlinear schrödinger equations in a generalized elastic medium
İRMA HACINLIYAN
- Kompozit beton yapı elemanlarının basit eğilme etkisi altında davranışının incelenmesi
Flexural behavior investigation of composite reinforced concrete structural elements
FATİH ALTUN
Doktora
Türkçe
2000
İnşaat MühendisliğiYıldız Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. ZEKERİYA POLAT
