About the nilpotench of certain groups of order pnqm
Bazı pnqm mertebeli grupların nilpotentliği
- Tez No: 100656
- Danışmanlar: PROF.DR. KADİR AHRE
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Gruplar, Nilpotent gruplar, Groups, Nilpotent groups
- Yıl: 1999
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
- BAZI pnqm MERTEBELİ GRUPLARIN NİLPOTENTLİĞİ - ÖZET Burnside teoreminden p ve q asallar ve olmak üzere pnqm mertebeli grupların çözülebilir grup olduğunu biliyoruz, özel olarak p mertebeli grubun devirsel, p2 mertebeli grubun abelyen ve pq mertebeli grubun p^q-1 ise devirsel olduğunu biliyoruz. Nilpotent gruplar, abelyen gruplar ile çözülebilir gruplar arasında bulunan iyi özelliklere sahip gruplardır. Abelyen gruplar hakkındaki bazı temel bilgiler nilpotent gruplara taşınabilir. Abelyen gruplar nilpotenttir ve nilpotent gruplar Sylow alt gruplarının direkt çarpımıdır. Çalışmamızın amacı pnqm mertebeli abelyen olmayan grupların nilpotent olmaları için yeterli koşullar bulmaktır. Bu çalışmada m > 3 için pnqm mertebeli grupta : eğer (i) p ve q tek asallar ve p< q, (ii) p^q -1 (iv) q-Sylow alt grubu normal ve q1T üslü ise Elde edilen sonuç, G nin nilpotent olduğudur. Birinci bölümde, nilpotent grupları karakterize edebilmek için bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Bunlardan yararlanılarak bölümün sonunda, çalışmamızda gerekli olan bir grubun nilpotent olabilmesi için gerek ve yeter koşulun Sylow alt gruplarının direkt çarpımı olmasıdır teoremi verildi. İkinci bölümdeki amaç ise bize gerekli olan otomorfizma, yarı direkt çarpım hakkındaki bilgileri vermek ve daha sonraki bölümde bunları uygulamaktır. Çalışmamıza yardımcı olan şu bilgiler elde edilmiştin q“1”1 mertebeli grup devirsel ise otomorfizma grubundaki eleman sayısı qm“2(q-1) dir. pnqm mertebeli G grubunun p-Sylow alt grubu P ve q-Sylow alt grubu Q olmak üzere q-Sylow alt grubu normal ise G grubu Q ile P nin yarı direkt çarpımıdır. Üçüncü bölümde, pnqm mertebeli grupların q-Sylow alt grupları qm mertebeli olduğundan, üssü (elemanlarının mertebelerinin en küçük üst sınırı ) qm”1 olan qm mertebeli gruplar incelendi. q*2 için qm mertebeli abelyen olmayan H grubunun, a ve b elemanları ile üretilen ve aq =bq=l ; ab = ba1+q -vt-şartlarını sağlayan bir grup olduğu verildi. Böyle bir grubun şu özelliklere sahip olduğunu gösterdik: (i) Merkezi Z(H) = { aqi| 1<i ^qm'2 } olur ki mertebesi qm-2 dir. (ii) iveniçin (abj)n =an-ln(n-1)i/2hm“2bni (iii) i= 0,1,2 q-1 için <ab'> devirsel gruplarının mertebesi qm”1 olur. (iv) i^j (modq) ise <ab'>^<abj> (v) <ab'> n <ab“> = Z(H) (vi) Mertebesi qm”1 olan q+1 tane altgruba sahiptir. Bunlardan q tanesi devirsel ve bir tanesi değişmeli, devirsel olmayan < aq, b > alt grubudur. (vi) qm“1 mertebeli değişmeli, devirsel olmayan < aq, b > alt grubu tekliğinden dolayı karakteristik olur. Ayrıca, bu grubun varlığı ispat edilirken bu grubun elemanlarının çarpımınında aibW=aw-ki'i<rVi' şeklinde olduğu ispat edildi. Üçüncü bölümün sonunda pnqm mertebeli grubun qm mertebeli abelyen alt grubunun, a ve b elemanları ile üretilen ve aqm1=bq=1 ; ab = ba şartlarını sağlayan bir grup olduğu ve sağladığı özellikler gösterildi, (i) (ab1)”= anbin (ii) i= 0,1,2 q-1 için lob^l =qm“1 (iii) i f\ (modq) => <ab'> * <abi> (iv) <ab'> o <abi> = <aq> -vn-Sonuç olarak; qm mertebeli abelyen gaip mertebesi qm'1 olan q+1 tane devirsel alt gruba sahiptir. Son bölüm olan dördüncü bölümün başında etki hakkında gerekli bilgiler verildi. Ayrıca G, m > 3 için p”qm mertebeli abelyen olmayan p,q tek asallar şartlan ile belirlediğimiz bir grup ve normal q-Sylow alt grubunun üssü q“”1 ve p, q-1'i bölmüyorsa G nin nilpotent olduğu ispat edildi. İspatdaki temel düşünceler şu şekildedir P, G nin p-Sylow alt grubu ve Q, G nin normal q-Sylow alt grubu olmak üzere G grubunun Q ile P nin direkt çarpımı olarak yazılabileceği gösterilmelidir. Bölüm -n- de G nin Q ile P nin yan-direkt çarpımı olduğu gösterildi. Bu yan-direkt çarpımın direkt çarpım olduğunu ise olmadığı düşünülerek yani çelişki metodu kullanarak ispatladık. G, P ile Q nun yan-direkt çarpımı olduğundan 9 :P - >Aut(Q) homomorfizması vardır. Her aeP için 0(a) = <peAut(Q) ile tanımlı otomorfizmanın mertebesini k > 1 olmak üzere pk olduğunu kabul ederek bunun mümkün olamayacağını gösterdik. Q nun qm“1 mertebeli devirsel alt gruplarından oluşan kümeye X dersek, qm”1 mertebeli alt grupların q+1 tane olduğu ve bunlardan q tanesinin devirsel, bir tanesinin değişmeli, devirsel olmayan alt grup olduğu Bölüm -III- de ispatlanmıştı. Böylece X mertebesi qm“1 olan q tane alt grup içeren bir kümedir. Aynca X' in mertebesi q, Ki lerin yörüngelerinin mertebelerinin toplamı olarak ifade edilebilir. Yani ty yörüngelerinin mertebesi 1 veya k > j > 1 olmak üzere p”dir. m0, yörüngesi p olan alt grupların sayısı ve n0 de yörüngesi 1 olan alt grupların sayısı ise q = m<j p+no olur ki q asal olduğundan n0*0 dır. Eğer n0 = 1 ise q = m0 p+1 ifadesi p I q-1 i verir ki bu da p' nin q-1' i bölmemesi ile çelişir. Sonuçta n0 birden büyük bir sayıdır. I 3j I = 1 ise Si ={Ko} ve <p(Ko) = Ko olur. q> nin Ko a kısıtlaması olan <P K( ; Ko - > Ko -vuı-otomorfizmasını oluşturursak cp mertebesini böler. Bölüm -II- den K in mertebesi p' nin kuvveti olur ve Aut(Ko) in Aut(Ko)l = qm-2(q-1) ve pjq-1 olduğundan <p K in mertebesi 1 olur ki bu da <p nin Ko in elemanlarını sabit bıraktığını gösterir. HQ = {xeQ I cp(x) = x} kümesini tanımlarsak H0 in Q nun alt grubu ve Ko ç H0 olduğu açıktır. Ayrıca cp tarafından sabit bırakılan Ko gibi n0 tane K alt gruplarının bulunduğu düşünülerek qm>İHol>n0(qm-1-qm-2) + qm-2 > 2 ( qm“1 - qm”2) + qm“2 = qm”1 + ( qm“1 - qm”2) > qm“1. Böylece I H0 1 = qm olur ki bu da bize H0 - Q olduğunu verir. Yani <p, Q nun birim otomorfizmasıdır. Bu ise 9= 0(a) hakkındaki kabulümüzle çelişir. Sonuç olarak belirlenen şartlar altında verilen pnqm mertebeli grubun Q ile P'nin direkt çarpımı olduğu gösterilmiş olur ki bu da bize grubun nilpotent olduğunu ispatlamamızı sağlar. Ayrıca esas teoremimizin sonucu olarak ; G grubu m > 3 için pqm veya p2qm mertebeli, p < q ve p<r”q-1 ise G nin q-Sylow alt grubu her iki durumda da normal olacağından G grubunun nilpotent olduğu elde edilir. Bu bölümün sonunda p nin q-1 i bölmesi durumunda G nin nilpotent olmayabileceğini gösteren bir örnek verildi. Bu örneğimizde; I G I = 5x1 14 mertebeli grubun, 114 mertebeli ve 113 üslü alt grubunun 5 mertebeli otomorfizmasının olduğunu gösterdik. 1 14 mertebeli grubumuz aşağıdaki şartları sağlayacaktır. a1331 = b11 = 1 ve ab = ba122 113 üslü grubumuzun bir otomorfizması ise q>(aibi) = a124ib1 dir. -IX-p=5, n=1 olmak üzere P = <c> p-grup ve q = 1 1, m=4 olmak üzere Q q-grup ise her c1 eP için 0 (c' ) = 9 e Aut(Q) ile tanımlı 0 :P >Aut(Q) homomorfizmasi vardır. 9 otomorfizmasinin mertebeside 5 olduğu gösterilerek G grubunun nilpotent olmadığı gösterildi.
Özet (Çeviri)
ABOUT THE NILPOTENCY OF CERTAIN GROUPS OF ORDER pnqn SUMMARY The examination of groups of order pn is as old as the introduction of the definition of groups. Therefore, these groups that are named as p-groups are studied extensively. On the other hand the groups of order pnqm are investigated by Burnside. Bumside has shown that the latest groups are always solvable. In this thesis we have shown that; If G is a group of order pnqm where m^3 and p, q odd primes with p-Pq-1 and the q-Sylow subgroup of G is normal in G and has exponent qm1 then G is nilpotent. First, the number of elements of automorphisms group of order q“1”1 is determined and also if G is a group of order pnqm and P is a p-Sylow subgroup, Q is a q-Sylow subgroup which is normal in G, then G is a semidirect product of Q by P is shown. Therefore if G is a group of order pnqm where m ^ 3 and p, q odd primes with p^q-1 and the q-Sylow subgroup of G is normal in G and has exponent qm1, then G is a direct product of Q by P. As a special case, if p, q are odd primes, p < q with p^q-1 and m > 3 then groups of order pqm and p2qm are nilpotent. Also, it is constructed a numerical example that p | q-1 where G is not nilpotent. In order to obtained this result the strongest method of group theory namely group action is used.
Benzer Tezler
- Radikaller ve aralarındaki ilişki
Başlık çevirisi yok
TÜLİN AKŞAK
Yüksek Lisans
Türkçe
1994
MatematikYüzüncü Yıl ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. HASAN DALGIN
- Çok girişli sistemlerde sınırlandırmalı sonlu zaman kontrolu
Constrained deadbeat control for multi-input systems
MÜJDE GÜZELKAYA
- İnvolüsyonlu asal halkalarda türevler
Derivations on involution prime rings
İSMAİL GÜLŞEN
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
MatematikPamukkale ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ŞAHİN CERAN
- Finitary permutations and locally finite graphs
Sonlumsu permütasyonlar ve lokal sonlu çizgeler
EMRAH YAKA
Yüksek Lisans
İngilizce
1998
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MAHMUT KUZUCUOĞLU